将矩阵分解为正交矩阵与对称正定矩阵

将矩阵分解为正交矩阵与对称正定矩阵的过程被称为正交对角化。下面是一个简单的步骤：

1. 对于一个$n \times n$的实对称矩阵$A$，可以通过特征值分解得到$A$的特征值和特征向量。设$A$的特征值为$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，对应的特征向量为$v_1,v_2,...,v_n$，则有$Av_i=\lambda_iv_i$。

2. 将特征向量$v_1,v_2,...,v_n$组成一个$n \times n$的矩阵$V=[v_1,v_2,...,v_n]$，则$V$是一个正交矩阵，即$V^TV=VV^T=I$，其中$I$是单位矩阵。

3. 将特征值$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$组成一个$n \times n$的对角矩阵$\Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$。

4. 则有$A=V\Lambda V^T$，即$A$可以分解为一个正交矩阵$V$和一个对称正定矩阵$\Lambda$的乘积。

下面是一个Python的实现：

import numpy as np

# 定义一个实对称矩阵
A = np.array([[4, 2, 2], [2, 5, 1], [2, 1, 6]])

# 特征值分解
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

# 构造正交矩阵
V = eigenvectors

# 构造对角矩阵
Lambda = np.diag(eigenvalues)

# 正交对角化
A_orthogonal = V @ Lambda @ V.T
print("原矩阵A：\n", A)
print("正交矩阵V：\n", V)
print("对角矩阵Lambda：\n", Lambda)
print("正交对角化结果：\n", A_orthogonal)