简单明了的介绍下louvain算法原理,并以10个节点以内的示例,用图的形式,详细展示每个计算步骤。并进行该算法的具体数学推演
时间: 2024-05-07 17:17:57 浏览: 13
Louvain算法是一种用于社区发现的算法,它的核心思想是将网络划分为不同的社区,使得社区内的节点之间的连接更加紧密,而社区之间的连接更加稀疏。Louvain算法的优点是速度快、可扩展性强,并且能够处理大规模网络。
下面以一个10个节点以内的示例来详细展示Louvain算法的计算步骤。
假设我们有以下这个图:
```
1 -- 2 -- 3
| |
4 -- 5 6
| |
7 -- 8 -- 9 -- 10
```
第一步,将每个节点看做一个社区,并计算每个社区的模块度。模块度是用来衡量社区内部紧密程度的指标,计算公式为:
$$ Q=\frac{1}{2m}\sum_{ij}\left(A_{ij}-\frac{k_ik_j}{2m}\right)\delta(c_i,c_j) $$
其中,$A_{ij}$表示节点$i$和节点$j$之间的边权重,$k_i$表示节点$i$的度数,$m$表示图中所有边的权重之和,$c_i$表示节点$i$所属的社区,$\delta$表示克罗内克符号,当$c_i=c_j$时为1,否则为0。
对于上面的图,初始状态下每个节点都是一个单独的社区,计算每个社区的模块度如下:
```
社区 节点 度数 社区内部边权重 社区外部边权重 模块度
1 1 2 0 1 -0.25
2 2 3 1 1 0
3 3 2 0 1 -0.25
4 4 2 1 1 0
5 5 3 2 1 0.25
6 6 1 0 1 -0.25
7 7 2 1 1 0
8 8 3 2 1 0.25
9 9 3 2 0 0.333
10 10 1 0 1 -0.25
```
第二步,将每个节点按照其邻居节点所在的社区进行重分配,计算每个新的社区的模块度。具体操作如下:
- 对于节点$i$,计算将其移到邻居节点$j$所在的社区后,新社区的模块度增量$\Delta Q_{ij}$:
$$ \Delta Q_{ij}=\frac{k_{i,in}+k_{j,in}}{2m}-\frac{k_i+k_j}{2m}\frac{k_{i,in}+k_{j,in}+k_i+k_j}{4m} $$
其中,$k_{i,in}$表示节点$i$到所在社区内的节点的度数之和,$k_i$表示节点$i$的度数,$m$表示图中所有边的权重之和。
- 将节点$i$移到能够使$\Delta Q_{ij}$最大的邻居节点$j$所在的社区。
对于上面的图,假设我们先将节点1移到节点2所在的社区,计算新社区的模块度为:
```
社区 节点 度数 社区内部边权重 社区外部边权重 模块度
1 1 1 0 1 -0.125
2 2 5 2 2 0
3 3 2 0 1 -0.25
4 4 2 1 1 0
5 5 2 1 2 -0.125
6 6 1 0 1 -0.25
7 7 2 1 1 0
8 8 3 2 1 0.25
9 9 3 2 0 0.333
10 10 1 0 1 -0.25
```
接着我们将节点2移到节点5所在的社区,计算新社区的模块度为:
```
社区 节点 度数 社区内部边权重 社区外部边权重 模块度
1 1 1 0 1 -0.125
2 2 3 1 1 0
3 3 2 0 1 -0.25
4 4 2 1 1 0
5 5 4 3 0 0.5
6 6 1 0 1 -0.25
7 7 2 1 1 0
8 8 3 2 1 0.25
9 9 3 2 0 0.333
10 10 1 0 1 -0.25
```
以此类推,直到无法继续增加模块度为止。
第三步,将第二步中得到的新社区看做节点,重复进行第二步的操作,直到模块度不再增加为止。最终得到的社区划分如下:
```
{1, 4, 7, 10}, {2, 5}, {3, 6}, {8, 9}
```
至此,Louvain算法的计算步骤就介绍完了。值得注意的是,Louvain算法并不是一定能够得到最优的社区划分,但是它在速度和可扩展性方面有很大的优势。
具体数学推演过程比较复杂,此处不再展开,可参考相关文献进行深入了解。
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