使用Eigen和c++写一个sor迭代法解线性方程组的函数

Sor迭代法，即Successive Over-Relaxation（逐次超松弛）迭代法，是一种用于求解线性方程组的迭代技术。在使用Eigen库和C++编写Sor迭代法函数时，首先需要包含Eigen库的头文件，并定义一个函数来实现Sor迭代。下面是一个简单的Sor迭代函数实现示例：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

// 使用Eigen库解线性方程组的Sor迭代法函数
Eigen::VectorXd sor(const Eigen::MatrixXd& A, const Eigen::VectorXd& b, double w, int max_iter, double tol) {
    int n = A.rows(); // 获取方程组的大小
    Eigen::VectorXd x(n), x_new(n), r(n), d(n);
    x.setZero(); // 初始化解向量x为零向量
    double norm;

    for (int i = 0; i < max_iter; ++i) {
        // 计算残差
        r = b - A * x;
        norm = r.norm(); // 计算残差的范数

        if (norm < tol) { // 检查是否达到所需的精度
            break;
        }

        // SOR迭代公式计算新的解向量x_new
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            // 计算搜索方向d
            d(j) = x(j) + w * (A.col(j).dot(r) - A(j, j) * x(j)) / A(j, j);
            // 更新解向量x_new
            x_new(j) = w * d(j) + (1 - w) * x(j);
        }

        x = x_new; // 更新解向量x
    }

    return x;
}

int main() {
    // 定义系数矩阵A和常数向量b
    Eigen::MatrixXd A(3, 3);
    Eigen::VectorXd b(3);

    // 填充矩阵A和向量b的值
    A << 4, -1, 0, -1, 4, -1, 0, -1, 3;
    b << 5, -2, 8;

    // SOR迭代参数
    double w = 1.25; // 松弛因子
    int max_iter = 100; // 最大迭代次数
    double tol = 1e-8; // 收敛容忍度

    // 调用Sor函数求解线性方程组
    Eigen::VectorXd x = sor(A, b, w, max_iter, tol);

    // 输出解向量
    std::cout << "解向量:\n" << x << std::endl;

    return 0;
}

请注意，上述代码中的松弛因子`w`需要根据具体的线性方程组来选择合适的值。松弛因子的取值范围通常在(1, 2)之间，不同的`w`值会影响迭代的收敛速度和稳定性。