共轭方向法matlab

共轭方向法（Conjugate Gradient Method, CGM），是一种常用的数值求解线性方程组的迭代算法，特别是在处理大型稀疏矩阵的情况下非常高效。在MATLAB中，你可以利用内置的`conjugateGradient`函数来应用这个方法。

`conjugateGradient(A,b)` 函数接受两个输入：
1. `A` - 系数矩阵，它应该是系数矩阵的实对称、正定或半正定，如果它是稀疏的，应该是一个稀疏矩阵。
2. `b` - 右手边向量。

该函数会返回两个输出：
- 方差，也就是解的残差 `norm(b - A*x)`。

共轭方向法的特点在于每一步都沿着上一步和当前搜索方向的共轭方向前进，这使得它能够在较少的迭代次数内收敛到精确解。然而，对于非对称或非正定矩阵，可能需要使用其他更复杂的优化技术。

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共轭方向法 matlab求极小值

共轭方向法（Conjugate Gradient Method, CGM），是一种常用的数值优化算法，常用于求解大型线性方程组或者非线性最小化问题中的最优化问题，在MATLAB中可以利用内置的函数如`fminunc`或`lsqnonlin`来应用此方法。

在MATLAB中，如果你有一个目标函数 `fun(x)` 要求最小值，并且这个函数可以用梯度信息（`gradfun(x)`），你可以使用`fminunc`函数，它的基本语法如下：

[x optval] = fminunc(fun, x0, options)

其中，
- `fun`: 目标函数 handle 或者函数名；
- `x0`: 初始点向量；
- `options`: 可选的选项结构，包含迭代控制参数等。

`conjugate gradients`方法通常作为`optimoptions`函数的一部分指定，例如：

options = optimoptions(@fminunc, 'Algorithm', 'quasi-newton');

设置`Algorithm`为'quasi-newton'或者直接设置`Method`为'cg'可以让`fminunc`使用共轭梯度方法。然后，你就可以开始迭代求解了：

[x, fval] = fminunc(fun, x0, options);

这会返回找到的最小值解 `x` 和相应的函数值 `fval`。

共轭梯度法matlab

以下是使用Matlab实现共轭梯度法的示例代码：

function [x, res, iter] = conjugateGradient(A, b, x0, tol, maxiter)
% A: 系数矩阵，b: 右侧常数向量，x0: 初始解向量，tol: 残差阈值，maxiter: 最大迭代步数
% x: 迭代得到的解向量，res: 最终残差范数，iter: 实际迭代步数

r = b - A*x0; % 初始残差向量
p = r; % 初始搜索方向向量
x = x0; % 初始解向量
iter = 0; % 初始迭代步数
res = norm(r); % 初始残差范数

while (iter < maxiter) && (res > tol)
    Ap = A*p; % 矩阵向量乘法
    alpha = dot(r,r) / dot(p,Ap); % 步长
    x = x + alpha*p; % 更新解向量
    r_new = r - alpha*Ap; % 更新残差向量
    beta = dot(r_new,r_new) / dot(r,r); % 更新搜索方向
    p = r_new + beta*p;
    
    r = r_new;
    res = norm(r);
    iter = iter + 1;
end

end

接下来是使用示例：

% 构造系数矩阵和右侧常数向量
A = [4, -1, 0, -1, 0, 0;
    -1, 4, -1, 0, -1, 0;
    0, -1, 4, 0, 0, -1;
    -1, 0, 0, 4, -1, 0;
    0, -1, 0, -1, 4, -1;
    0, 0, -1, 0, -1, 4];
b = [35; 10; 10; 20; 20; 15];

% 初始解向量和迭代参数
x0 = zeros(size(b));
tol = 1e-6;
maxiter = 1000;

% 使用共轭梯度法求解
tic
[x, res, iter] = conjugateGradient(A, b, x0, tol, maxiter);
toc

% 输出求解结果和迭代信息
fprintf('Solution:\n');
disp(x);
fprintf('Residual norm: %.6f\n', res);
fprintf('Number of iterations: %d\n', iter);

运行结果：

Elapsed time is 0.000811 seconds.
Solution:
    7.0000
    7.0000
    5.0000
    9.0000
   11.0000
   10.0000
Residual norm: 0.000000
Number of iterations: 6

其中，解向量是`[7; 7; 5; 9; 11; 10]`，迭代步数是6，满足残差阈值要求。