、部分背包问题：n 个物品和 1 个背包。对物品 i(i=1,2,…,n),其价值为 vi，重量为 wi，背 包的容量为 W。如何选取物品装入背包,使背包中所装入的物品的总价值最大？物品可以分 割。Python

部分背包问题可以使用贪心算法或动态规划算法求解。下面给出使用动态规划算法的Python代码实现。

def bag(n, w, v, c):
    """
    部分背包问题的动态规划算法实现
    :param n: 物品数量
    :param w: 物品重量列表
    :param v: 物品价值列表
    :param c: 背包容量
    :return: 装入背包的物品的最大总价值
    """
    # 创建动态规划表
    dp = [0] * (c + 1)
    for i in range(n):
        # 物品可以分割，使用01背包的思路计算最大价值
        for j in range(c, w[i] - 1, -1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i] * (j // w[i]))
    return dp[c]

其中，dp[i]表示容量为i的背包可以装入的物品的最大总价值。对于每个物品i，从容量为c到物品重量w[i]之间的容量范围内，更新dp数组的值，直到达到容量上限c。最终返回dp[c]即可，即背包容量为c时可以装入的物品的最大总价值。

相关问题

0-1背包问题是很经典的算法问题：给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，价值是vi，背包最大容量是C。应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？请用回溯法解决该问题 样列1： 输入： 物品数：3 背包成重量：25 每个物品重量：[20,15,10] 每个物品价值：[25,30,20] 输出： 最大价值：50 此时包中装了第2、3件物品 样列2： 输入： 物品数：5 背包成重量：10 每个物品重量：[2,2,6,5,4] 每个物品价值：[6,3,5,4,6] 输出： 最大价值：15 此时包中装了第1、2、5件物品

好的，我明白了你的问题。以下是利用回溯法解决0-1背包问题的代码实现（Python）：

def backtrack_01bag(n, c, w, v):
    # n: 物品数量
    # c: 背包容量
    # w: 每个物品的重量
    # v: 每个物品的价值
    # 返回最大价值和所选的物品

    # 初始化最大价值为0
    max_value = 0
    # 初始化最大价值对应的物品列表为空
    max_items = []

    def backtrack(i, cur_weight, cur_value, items):
        nonlocal max_value, max_items
        # 如果已经遍历完所有物品，或者当前已经超出了背包容量，结束递归
        if i == n or cur_weight >= c:
            # 如果当前总价值比最大价值大，更新最大价值和物品列表
            if cur_value > max_value:
                max_value = cur_value
                max_items = items[:]
            return
        
        # 不选第i个物品
        backtrack(i+1, cur_weight, cur_value, items)
        
        # 如果选第i个物品不超过背包容量，继续递归
        if cur_weight + w[i] <= c:
            items.append(i)
            backtrack(i+1, cur_weight+w[i], cur_value+v[i], items)
            items.pop()
    
    # 从第一个物品开始递归
    backtrack(0, 0, 0, [])
    
    return max_value, max_items

你可以直接调用该函数，传入对应的参数即可求解0-1背包问题。例如：

n = 3
c = 25
w = [20, 15, 10]
v = [25, 30, 20]
max_value, max_items = backtrack_01bag(n, c, w, v)
print("最大价值：", max_value)
print("所选物品：", max_items)

输出结果为：

最大价值： 50
所选物品： [1, 2]

表示最大价值为50，所选物品为第2、3个物品（下标从0开始）。同理，你可以使用其他样例进行验证。

用C语言编写部分背包问题1.给定N种物品和一个背包。物品i的重量是w[i]，其价值为v[i]，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？ 2.在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择：装入背包(=1)或不装入背包(=0)。不能将物品i装入背包多次，在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包。第一行输入两个整数0<N<=1000，0<C<108，N表示物品的数量，C表示背包的容量。 接下来N行，每行读入两个实数Wi，Vi，分别表示物品i的重量和其价值。输出N行，每行输出 "物品编号: 装入程度"，按物品单位重量的价值降序输出。

以下是部分背包问题的C语言代码：

#include <stdio.h>

#define MAX_N 1000

typedef struct {
    double w; // 物品重量
    double v; // 物品价值
    double r; // 单位重量的价值
    int id; // 物品编号
} Item;

Item items[MAX_N]; // 物品数组

int cmp(const void *a, const void *b) { // 按单位重量的价值降序排序
    Item *x = (Item *)a;
    Item *y = (Item *)b;
    return (y->r - x->r) > 0 ? 1 : -1;
}

int main() {
    int n, c, i;
    double tw = 0.0, tv = 0.0; // 已装入背包的物品重量和价值
    scanf("%d %d", &n, &c);
    for (i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%lf %lf", &items[i].w, &items[i].v);
        items[i].r = items[i].v / items[i].w; // 计算单位重量的价值
        items[i].id = i;
    }
    qsort(items, n, sizeof(Item), cmp); // 排序
    for (i = 0; i < n && tw + items[i].w <= c; i++) { // 贪心选择物品
        printf("%d: 1.0\n", items[i].id);
        tw += items[i].w;
        tv += items[i].v;
    }
    if (i < n) {
        printf("%d: %.2lf\n", items[i].id, (c - tw) / items[i].w); // 装入物品的一部分
        tv += items[i].v * (c - tw) / items[i].w;
        i++;
        for (; i < n; i++) {
            printf("%d: 0.0\n", items[i].id); // 不装入物品
        }
    }
    printf("总重量=%.2lf 总价值=%.2lf\n", tw + (c - tw) / items[i - 1].w * items[i - 1].w, tv);
    return 0;
}

输入格式为：

N C
w1 v1
w2 v2
...
wn vn

输出格式为：

物品编号: 装入程度
物品编号: 装入程度
...
总重量=... 总价值=...

其中，装入程度为1.0表示全部装入，为0.0表示全部不装入，为一个小数表示部分装入的比例。