完全背包问题 ：有N种物品和一个容量为C的背包。第i种物品有无穷个，体积是w[i]，价值是v[i]。选择物品装入背包使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大，求出背包最大价值。写出算法的递归模型并进行解释

算法的递归模型如下：

对于前i个物品和容量为j的背包，设f(i,j)为背包能够装下的物品的最大价值。则有以下状态转移方程：

f(i,j) = max{f(i-1,j-k*w[i])+k*v[i]}，其中0<=k*w[i]<=j

解释：

上述状态转移方程的含义是：当我们考虑是否将第i种物品放入背包时，有两种选择，要么不放入（此时f(i,j)=f(i-1,j)），要么放入若干个，直到超过背包容量为止（此时f(i,j)=f(i-1,j-k*w[i])+k*v[i]）。最后取这两种情况中的最大值作为f(i,j)的值。其中，k表示第i种物品放入的数量，0<=k*w[i]<=j表示物品的数量不能超过当前背包的容量。

递归模型的边界条件为：

f(0,j) = 0，f(i,0) = 0，其中0<=i<=N，0<=j<=C

表示当没有物品可选或者背包容量为0时，价值为0。

相关问题

用c语言实现：0-1背包问题： 有n件物品和一个容量为c的背包。第i件物品的容量是w[i]，价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。 四、实验步骤 1、理解算法思想和问题要求； 2、编程实现题目要求； 3、上机输入和调试自己所编的程序； 4、验证分析实验结果

以下是用 C 语言实现 0-1 背包问题的代码：

#include <stdio.h>

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

int knapsack(int n, int c, int w[], int p[]) {
    int i, j;
    int dp[n+1][c+1];
    for (i = 0; i <= n; i++) {
        for (j = 0; j <= c; j++) {
            if (i == 0 || j == 0) {
                dp[i][j] = 0;
            } else if (w[i-1] <= j) {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]] + p[i-1]);
            } else {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }
    }
    return dp[n][c];
}

int main() {
    int n, c, i;
    printf("请输入物品数量和背包容量：\n");
    scanf("%d%d", &n, &c);
    int w[n], p[n];
    printf("请输入每个物品的重量和价值：\n");
    for (i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d%d", &w[i], &p[i]);
    }
    int result = knapsack(n, c, w, p);
    printf("背包可以装入的最大价值为：%d\n", result);
    return 0;
}

在该代码中，`max()` 函数用于获取两个数中的较大值。`knapsack()` 函数是实现 0-1 背包问题的核心函数，它使用动态规划算法来解决该问题。程序从输入中获取物品数量和背包容量，然后获取每个物品的重量和价值，最后输出背包可以装入的最大价值。

我们可以通过输入不同的数据来测试程序的正确性，例如：

请输入物品数量和背包容量：
5 10
请输入每个物品的重量和价值：
2 6
2 3
6 5
5 4
4 6
背包可以装入的最大价值为：15

以上的测试数据包含 5 个物品和一个容量为 10 的背包，每个物品的重量和价值分别为 (2, 6)，(2, 3)，(6, 5)，(5, 4) 和 (4, 6)，程序的输出结果为 15，符合预期。

用c语言按照以下要求编写：有n件物品和一个容量为c的背包。第i件物品的容量是w（i），价值是p（i）。求解将哪些物品装入背包可是价值总和最大

好的，这是一道经典的背包问题，可以使用动态规划算法进行解决。具体来说，我们可以定义一个二维数组 dp[i][j]，表示前 i 件物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。初始时，dp[0][j] = 0 和 dp[i][0] = 0。

对于每个物品 i，我们有两种选择：放入背包中或不放入背包中。如果不放入背包中，则 dp[i][j] = dp[i-1][j]。如果放入背包中，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + p[i]。因此，我们可以得到状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + p[i])

最终的答案是 dp[n][c]，即将所有物品放入容量为 c 的背包中所能获得的最大价值。

以下是C语言代码实现：