完全背包问题 ：有N种物品和一个容量为C的背包。第i种物品有无穷个，体积是w[i]，价值是v[i]。选择物品装入背包使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大，求出背包最大价值。写出算法的递归模型并进行解释

算法的递归模型如下：

对于前i个物品和容量为j的背包，设f(i,j)为背包能够装下的物品的最大价值。则有以下状态转移方程：

f(i,j) = max{f(i-1,j-k*w[i])+k*v[i]}，其中0<=k*w[i]<=j

解释：

上述状态转移方程的含义是：当我们考虑是否将第i种物品放入背包时，有两种选择，要么不放入（此时f(i,j)=f(i-1,j)），要么放入若干个，直到超过背包容量为止（此时f(i,j)=f(i-1,j-k*w[i])+k*v[i]）。最后取这两种情况中的最大值作为f(i,j)的值。其中，k表示第i种物品放入的数量，0<=k*w[i]<=j表示物品的数量不能超过当前背包的容量。

递归模型的边界条件为：

f(0,j) = 0，f(i,0) = 0，其中0<=i<=N，0<=j<=C

表示当没有物品可选或者背包容量为0时，价值为0。

相关问题

用c语言按照以下要求编写：有n件物品和一个容量为c的背包。第i件物品的容量是w（i），价值是p（i）。求解将哪些物品装入背包可是价值总和最大

好的，这是一道经典的背包问题，可以使用动态规划算法进行解决。具体来说，我们可以定义一个二维数组 dp[i][j]，表示前 i 件物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。初始时，dp[0][j] = 0 和 dp[i][0] = 0。

对于每个物品 i，我们有两种选择：放入背包中或不放入背包中。如果不放入背包中，则 dp[i][j] = dp[i-1][j]。如果放入背包中，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + p[i]。因此，我们可以得到状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + p[i])

最终的答案是 dp[n][c]，即将所有物品放入容量为 c 的背包中所能获得的最大价值。

以下是C语言代码实现：

用c语言详细按照以下要求编写：有n件物品和一个容量为c的背包。第i件物品的容量是w（i），价值是p（i）。求解将哪些物品装入背包可是价值总和最大

以下是使用C语言实现0-1背包问题的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX_N 1000
#define MAX_C 1000

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

int main() {
    int n, c;
    int w[MAX_N], p[MAX_N];
    int dp[MAX_N][MAX_C];

    printf("请输入物品件数和背包容量：");
    scanf("%d%d", &n, &c);

    printf("请分别输入每件物品的容量和价值：\n");
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &w[i], &p[i]);
    }

    // 动态规划求解
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= c; j++) {
            if (j < w[i]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + p[i]);
            }
        }
    }

    printf("最大价值为：%d\n", dp[n][c]);

    return 0;
}

该代码使用了动态规划求解0-1背包问题。其中，dp[i][j]表示前i件物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + p[i])

其中，如果容量j小于物品i的容量w[i]，则背包无法放下第i件物品，此时dp[i][j]等于dp[i-1][j]；否则，将第i件物品放入背包中，此时背包容量变为j-w[i]，所能获得的最大价值为dp[i-1][j-w[i]]+p[i]。取这两种情况的最大值即为dp[i][j]。

最终的最大价值为dp[n][c]。