有一个容量为 n 的背包和 m+1 种物品，每种物品都有无限多个。 物品种类编号为 0∼m 。 第 i 种物品的体积为 vi ，价值为 wi 。 在使用背包装入物品时，每种物品的限重如下： 第 0 种物品：重量忽略不计，在装入时没有重量限制。 第 1∼m 种物品：第 i 种物品的单个重量为 hi ，如果该种物品的装入总重量超过 li ，则视为超重。 现在，请你挑选物品装入背包，要求 所有装入物品的总体积不得超过背包容量。 所有存在重量限制的物品均不得超重。 满足以上所有条件的前提下，所有装入物品的总价值尽可能大。 输出总价值的最大可能值。 注意审题，不要将 n,m 的含义弄混。 输入格式 第一行包含四个整数 n,m,v0,w0 。 接下来 m 行，每行包含四个整数 li,hi,vi,wi 。 输出格式 一个整数，表示总价值的最大可能值。

算法1

(多重背包+二进制优化)

对于第 0 种物品，可以按照普通的多重背包来处理，但是对于第 1~m 种物品，由于有重量限制，直接使用多重背包的实现效率比较低，因为 1~m 种物品的数量不确定，所以需要二进制优化。具体来说，对于第 i 种物品，将其拆分成若干个物品，每个物品的重量都是 hi 的若干倍（即可以装入 hi 的1~k 倍），价值也与数量有关，最后使用多重背包来求解即可。

时间复杂度

最坏情况下，需要处理的物品总数为 O(mlog l) ，单次多重背包的时间复杂度为 O(nlog v)，总时间复杂度为 O(nmlog vlog l)

C++ 代码

算法2

(多重背包+单调队列优化)

C++ 代码

相关问题

有1个容量为m的背包,现有n种物品,重量分别为w1,w2…wn,价值分别为v1,v….vn,若每

个物品只有一个，求背包能装下的最大价值是多少？

这是一个经典的背包问题，可以使用动态规划算法来解决。具体思路如下：

1. 定义一个二维数组 dp[i][j] 表示前 i 个物品放入容量为 j 的背包中可以获得的最大价值。

2. 初始化 dp 数组，将 dp[i][0] 和 dp[0][j] 都设为 0，表示背包容量为 0 或没有物品时，最大价值都为 0。

3. 递推计算 dp 数组，对于每个物品 i，分两种情况考虑：

a. 如果不选该物品，则最大价值为 dp[i-1][j]；

b. 如果选该物品，则最大价值为 dp[i-1][j-w[i]] + v[i]，其中 j-w[i] 表示剩余容量，v[i] 表示该物品的价值。

综上所述，状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])。

4. 最终结果为 dp[n][m]，表示前 n 个物品放入容量为 m 的背包中可以获得的最大价值。

注意，以上算法的时间复杂度为 O(nm)，空间复杂度也为 O(nm)，可以通过优化空间来达到 O(m) 的复杂度。

一个旅行者随身携带一个背包. 可以放入背包的物品有n 种, 每种物品的重量和价值分

旅行者随身携带一个背包，可以放入背包的物品有n种，每种物品的重量和价值不同。

背包是旅行者在旅途中储存物品的必备工具。不同的物品重量和价值的选择将直接影响旅行者的旅行体验和便利性。旅行者根据自己的需求和行程来选择携带的物品。

首先，旅行者需要将重量轻、价值高的物品放入背包中。这些物品可以是身份证、钱包、手机、相机等重要的随身物品。它们重量轻，但是对于旅行者来说价值非常高，因此需要放在背包的易取出的位置，以方便使用。

其次，旅行者还需要携带一些重量较大、但是在旅途中仍然需要的物品。这些物品可以是衣物、洗漱用品、毛巾等。虽然这些物品重量较大，但是在旅途中仍然需要使用，因此旅行者需要将它们放入背包的适当位置。

此外，旅行者还可以根据实际需求选择携带一些特定的物品。例如，如果旅行者计划进行户外运动活动，他可能会带上一些运动装备，如帐篷、睡袋、登山鞋等。如果旅行者喜欢阅读，他可能会带上一些书籍或电子阅读器。这些特定的物品根据旅行者的个人喜好和行程来决定是否携带。

总的来说，旅行者根据自己的需求和行程来选择携带的物品。这些物品的重量和价值各不相同，旅行者需要在背包中合理安排它们的位置和使用频率，以便在旅途中提供便利和舒适。