共轭梯度法的第一步搜索方向为什么是负梯度方向

共轭梯度法是一种迭代算法，每次迭代都需要确定一个搜索方向。在共轭梯度法中，第一步的搜索方向为负梯度方向，即沿着当前点的梯度的相反方向前进。

这是因为在最小化一个二次函数时，负梯度方向是最陡峭的下降方向，即使在非二次函数的情况下，也可以用最陡峭下降法来确定一个初始搜索方向。此外，在共轭梯度法中，负梯度方向也是与之前的搜索方向共轭的方向，可以保证下一步的搜索方向与之前的搜索方向不重复，从而提高收敛速度。

相关问题

共轭梯度法求解线性方程组

共轭梯度法是一种针对对称正定矩阵的线性方程组求解方法。假设要求解 $Ax=b$，其中 $A$ 是对称正定矩阵，$x$ 和 $b$ 是向量。

首先需要选取一个初值 $x_0$ 和一个初始残差向量 $r_0=b-Ax_0$。对于 $Ax=b$，我们要使得 $Ax$ 和 $b$ 的差异最小，因此将残差向量作为方向向量开始搜索，即 $d_0=r_0$。

然后按照如下步骤迭代计算：

1. 计算第 $k$ 步的系数 $\alpha_k$：

$$\alpha_k=\frac{r_k^Tr_k}{d_k^TAd_k}$$

2. 得到 $x_{k+1}$：

$$x_{k+1}=x_k+\alpha_kd_k$$

3. 计算新的残差向量 $r_{k+1}$：

$$r_{k+1}=r_k-\alpha_kAd_k$$

4. 计算第 $k+1$ 步的系数 $\beta_k$：

$$\beta_k=\frac{r_{k+1}^Tr_{k+1}}{r_k^Tr_k}$$

5. 得到新的搜索方向 $d_{k+1}$：

$$d_{k+1}=r_{k+1}+\beta_kd_k$$

6. 如果满足某个停止准则，比如残差向量的模长小于某个阈值，或者已经达到最大迭代次数，则停止迭代，否则返回步骤 1。

共轭梯度法具有迭代收敛速度快的特点，并且存储量小，适合求解大规模的线性方程组。但是该方法要求矩阵 $A$ 是对称正定的，否则可能无法收敛。

共轭梯度法(conjugate gradient)

共轭梯度法是一种优化算法，主要用于求解线性方程组或者最小化二次函数。它的优点是收敛速度快，存储空间占用少，适用于大规模稀疏线性方程组的求解。

共轭梯度法的基本思想是利用前一次的搜索方向，对当前的搜索方向进行修正，从而加速收敛。具体地，假设 $A$ 是一个对称正定矩阵，$b$ 是一个向量，要求解 $Ax=b$，则共轭梯度法的迭代公式为：

$$
x_{k+1}=x_k+\alpha_k p_k
$$

其中，$p_k$ 是共轭搜索方向，$\alpha_k$ 是步长，满足 $x_{k+1}$ 满足最小化函数 $f(x)=\frac{1}{2}x^T A x - x^T b$，即：

$$
\alpha_k=\frac{p_k^T r_k}{p_k^T A p_k}
$$

其中，$r_k=b-Ax_k$ 是残差向量，$p_k$ 是第 $k$ 步的搜索方向，满足 $p_k$ 和前面的搜索方向 $p_0,p_1,...,p_{k-1}$ 都是共轭的，即：

$$
p_k^T A p_j=0, \quad j=0,1,...,k-1
$$

共轭梯度法的迭代过程中，每一步都需要计算残差向量、搜索方向和步长，直到残差向量的范数足够小或者达到预设的迭代次数为止。