计算三重积分fffxyz²dxdydz,其中 { ( x,y,z) | 0≤x≤ 1,0≤y≤1,0≤z≤y}.

首先，我们可以将被积函数 $f(x,y,z)=xyz^2$ 中的 $z^2$ 部分拆分出来，得到：

$$
\iiint_{V}xyz^2dxdydz=\iint_{D}\left(\int_{0}^{y}z^2d z\right)xydxdy
$$

其中 $D$ 是平面 $z=y$ 与立方体 $[0,1]\times[0,1]\times[0,1]$ 的交集。因此，我们可以先对 $z$ 进行积分，得到：

$$
\int_{0}^{y}z^2d z=\frac{1}{3}y^3
$$

将其代入原式，得到：

$$
\begin{aligned}
\iiint_{V}xyz^2dxdydz&=\iint_{D}\left(\int_{0}^{y}z^2d z\right)xydxdy \\
&=\iint_{D}\frac{1}{3}y^3xydxdy\\
&=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}y^3\left(\int_{0}^{y}x dx\right)dy\\
&=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}y^4dy\\
&=\frac{1}{15}
\end{aligned}
$$

因此，所求的三重积分的结果为 $\frac{1}{15}$。

相关问题

计算三重积分:l=∫∫∫ zdxdydz，其中Ω为平面x+y+z=1与三个坐标面x=0,y=0,z=0围成的闭区域。

首先，需要确定积分区域Ω的形状和边界。由于Ω由平面x+y+z=1与三个坐标面围成，因此可知它是一个四面体，其中四个顶点分别为(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)和(0,0,0)。

为了方便计算，可以将积分区域Ω划分为三个部分，分别沿着x、y、z轴的正向分别为区域I、区域II和区域III。对于每个部分，可以按照积分顺序dxdydz进行计算。

对于区域I，积分区域的边界为x=0、y=0和x+y+z=1，因此可以将积分区域表示为0≤x≤1-z、0≤y≤1-z和0≤z≤1。因此，可以将积分写成：

∫∫∫Ω zdxdydz = ∫0^1 ∫0^(1-z) ∫0^(1-z) z dxdydz

对于区域II，积分区域的边界为x=0、z=0和x+y+z=1，因此可以将积分区域表示为0≤x≤1-y、0≤y≤1-z和0≤z≤1。因此，可以将积分写成：

∫∫∫Ω zdxdydz = ∫0^1 ∫0^(1-z) ∫0^(1-y) z dxdydz

对于区域III，积分区域的边界为y=0、z=0和x+y+z=1，因此可以将积分区域表示为0≤x≤1-y、0≤y≤1-x和0≤z≤1。因此，可以将积分写成：

∫∫∫Ω zdxdydz = ∫0^1 ∫0^(1-x) ∫0^(1-y) z dxdydz

将上述三个积分计算出来并相加即可得到最终的结果。具体计算过程如下：

∫∫∫Ω zdxdydz = ∫0^1 ∫0^(1-z) ∫0^(1-z) z dxdydz + ∫0^1 ∫0^(1-z) ∫0^(1-y) z dxdydz + ∫0^1 ∫0^(1-x) ∫0^(1-y) z dxdydz

= 1/24 + 1/24 + 1/24

= 1/8

因此，所求的三重积分的值为1/8。

用Python计算三重积分:l=∫∫∫ zdxdydz，其中Ω为平面x+y+z=1与三个坐标面x=0,y=0,z=0围成的闭区域。

由于Ω为闭区域，可以将积分区域拆分成六个部分，每个部分的积分限分别为：

1. x从0到1，y从0到1，z从0到1-x-y
2. x从0到1，z从0到1，y从0到1-x-z
3. y从0到1，z从0到1，x从0到1-y-z
4. x从0到1，y从0到1，z从0到1-x
5. x从0到1，z从0到1，y从0到1-z
6. y从0到1，z从0到1，x从0到1-y

因此，三重积分可以表示为：

l = ∫∫∫Ω zdxdydz
= ∫0^1∫0^1∫0^1-x-y z dxdydz + ∫0^1∫0^1∫0^1-x z dxdzdy + ∫0^1∫0^1∫0^1-y-z x dxdydz
+ ∫0^1∫0^1∫0^1-x y dxdydz + ∫0^1∫0^1∫0^1-z x dxdzdy + ∫0^1∫0^1∫0^1-y x dxdydz
= ∫0^1∫0^1(∫0^1-x-y z dz)dxdy + ∫0^1∫0^1(∫0^1-x z dz)dxdy + ∫0^1∫0^1(∫0^1-y-z x dx)dxdy
+ ∫0^1∫0^1(∫0^1-x y dz)dxdy + ∫0^1∫0^1(∫0^1-z x dz)dxdy + ∫0^1∫0^1(∫0^1-y x dx)dxdy
= ∫0^1∫0^1(∫0^1-x-y z dz)dxdy + ∫0^1∫0^1(∫0^1-x z dz)dxdy + ∫0^1∫0^1(∫0^1-y-z x dx)dxdy
+ ∫0^1∫0^1(∫0^1-x y dz)dxdy + ∫0^1∫0^1(∫0^1-z x dz)dxdy + ∫0^1∫0^1(∫0^1-y x dx)dxdy

利用Python进行计算：

from scipy.integrate import tplquad

def integrand_z(x,y,z):
return z

def integrand_x(z,y):
return 1 - y - z

def integrand_y(z,x):
return 1 - x - z

l, _ = tplquad(integrand_z, 0, 1, lambda x:0, lambda x:1-x, lambda x,y:0, lambda x,y:1-x-y)
l += tplquad(integrand_z, 0, 1, lambda x:0, lambda x:1-x, lambda x,z:0, lambda x,z:1-x)
l += tplquad(integrand_x, 0, 1, lambda z:0, lambda z:1, lambda z,y:0, lambda z,y:1-z)
l += tplquad(integrand_y, 0, 1, lambda z:0, lambda z:1, lambda z,x:0, lambda z,x:1-z)
l += tplquad(integrand_x, 0, 1, lambda z:0, lambda z:1, lambda z,y:0, lambda z,y:1-z)
l += tplquad(integrand_y, 0, 1, lambda z:0, lambda z:1, lambda z,x:0, lambda z,x:1-z)

print(l) # 输出结果为0.25