求s=a+aa+aaa+aaaa+aa...a的值，其中a是一个一位的整数。 例如2+22+222+2222+22222(此时共有5个数相加)

### 回答1：
s = a + 11a + 111a + 1111a + ... + (10...)a（共有n个数相加）

可以发现，每一项都是前一项的十倍再加上a，即：

s = a + 11a + 111a + 1111a + ... + (10...)a
10s = 10a + 110a + 111a + 11110a + ... + (10...)a
9s = (10...)a - a
s = [(10...)a - a] / 9

其中，(10...)a表示a后面有n个，即(10...)表示10的n次方。

因此，求出(10...)a即可求出s的值。例如，当a=2，n=5时，(10...)a=20000，代入公式得：

s = [(10...)a - a] / 9 = (20000 - 2) / 9 = 22222

因此，2+22+222+2222+22222的和为22222。

### 回答2：
对于这道题目，首先我们可以观察到每一项都是由一个数位相同的数字组成的。设该数字为x。那么我们可以用一个递推公式表示这个序列：

s1 = x
s2 = s1 * 10 + x
s3 = s2 * 10 + x
s4 = s3 * 10 + x
...
sn = sn-1 * 10 + x

可以看到，在每一项的计算中，我们都是将前一项乘以10，再加上x，得到下一项。所以如果我们知道了前一项的值，就可以算出下一项的值。而s1就是第一项，也就是x本身。

进一步观察，我们可以发现，每一项的值其实都是一个等比数列的前n项和。即：

s1 = x = x * (1 - 0.1^n) / (1 - 0.1)
s2 = x * 11 = x * (1 - 0.1^(n-1)) / (1 - 0.1)
s3 = x * 111 = x * (1 - 0.1^(n-2)) / (1 - 0.1)
s4 = x * 1111 = x * (1 - 0.1^(n-3)) / (1 - 0.1)
...
sn = x * 111...1 = x * (1 - 0.1^(n-n)) / (1 - 0.1)

其中，11、111、1111等均表示由连续的1组成的数字。

我们可以将上述公式进一步简化，得到：

s1 = x * (10^n - 1) / 9
s2 = x * 11 * (10^(n-1) - 1) / 9
s3 = x * 111 * (10^(n-2) - 1) / 9
s4 = x * 1111 * (10^(n-3) - 1) / 9
...
sn = x * 111...1 * (10^0 - 1) / 9

将上述公式代入s=a aa aaa aaaa aa...a，得到：

s = s1 + s2 + s3 + s4 + ... + sn
= x * (10^n - 1) / 9 + x * 11 * (10^(n-1) - 1) / 9 + x * 111 * (10^(n-2) - 1) / 9 + x * 1111 * (10^(n-3) - 1) / 9 + ... + x * 111...1 * (10^0 - 1) / 9
= x * [ (10^n - 1) / 9 + 11 * (10^(n-1) - 1) / 9 + 111 * (10^(n-2) - 1) / 9 + 1111 * (10^(n-3) - 1) / 9 + ... + 111...1 * (10^0 - 1) / 9 ]
= x * [ (10^n - 1) + 11 * (10^(n-1) - 1) + 111 * (10^(n-2) - 1) + 1111 * (10^(n-3) - 1) + ... + 111...1 * (10^0 - 1) ] / 9

需要注意的是，在最后一步化简中，我们将分子的(10^n-1)/9提了出来，这是因为当n很大时，这部分是整个和式的主导部分，其余部分相比之下可以忽略不计。

因此，最终的答案就是：

s = x * [(10^n-1) + 11*(10^(n-1)-1) + 111*(10^(n-2)-1) + ... + 111...1*(10^0-1) ] / 9

例如，如果a=2，n=5，则s=2*(10^5-1+11*(10^4-1)+111*(10^3-1)+1111*(10^2-1)+11111*(10^1-1))/9=246912。

### 回答3：
这道数学题的答案比较有趣，需要我们仔细思考。题目给的$s=a+aa+aaa+aaaa+......$看起来很像等比数列，但是又不完全一样，因为每一项的数字数量不一致。

我们可以先计算一下当a=1时的情况。此时$s=1+11+111+1111+......$。我们知道，$11=10+1$，$111=100+10+1$，$1111=1000+100+10+1$，以此类推。这样，我们就可以将s改写成：

$s=1+(10+1)+(100+10+1)+(1000+100+10+1)+......$

$s=1+10+100+1000+......+1+10+100+......+1+10+......+1+......$

接下来，我们可以观察每一列的数字之和。第1列的和为1，第2列的和为10个1相加得到的10，第3列的和为100个1相加得到的100，以此类推。因此，所有列数字之和的总和为：

$sum=1+10+100+1000+......$

如果我们将sum乘以10，就可以得到：

$10sum=10+100+1000+......$

此时，我们可以将两式相减，得到：

$9sum=1+9+90+900+......$

我们可以继续将右侧的求和式改写成等比数列的形式，即：

$9sum=1+9+90+900+......$

$=1+(10-1)+(100-10)+(1000-100)+......$

$=1+10+100+1000+......-(1+1+10+100+......)$

$=sum-(1+1+10+100+......)$

我们已经知道了sum的值，因此只需要求出右侧的括号部分就可以得到最终答案了。这也是一个等比数列求和的问题，其中公比为10，因此右侧部分的值为：

$1+1+10+100+......=\frac{10}{9}$

将其代入之前的式子，就可以得到：

$9sum=sum-\frac{10}{9}$

$8sum=\frac{9}{9}$

$sum=\frac{9}{8}$

因此，当a=1时，$s=1+11+111+1111+......=\frac{9}{8}$。我们可以将这个结果推广到任意一个一位整数a，只需要将之前的求和式中的1、10、100、1000......改成a、10a、100a、1000a......即可。

因此，最终的答案为：

$s=a+aa+aaa+aaaa+......=\frac{a}{9}\times(1+10+100+1000+......)=\frac{a}{9}\times\frac{1}{1-10a}$

其中，需要满足$10a<1$才能保证求和式是收敛的。