化二次型为规范型Maltab

在 MATLAB 中，可以使用以下代码将二次型转化为规范型：

syms x1 x2
Q = [1 2; 2 5]; % 二次型矩阵
[V,D] = eig(Q); % 求特征向量和特征值
lambda = diag(D); % 特征值向量
P = V*diag(1./sqrt(lambda)); % 规范化矩阵
Qn = simplify(P'*Q*P); % 规范化后的矩阵
xn = P*[x1;x2]; % 规范化变量

其中，Q为原始二次型矩阵，V和D分别为其特征向量和特征值矩阵，lambda为特征值向量，P为规范化矩阵，Qn为规范化后的二次型矩阵，xn为规范化变量。需要注意的是，由于特征向量可能存在复数，因此在实现时需要使用符号计算工具箱中的`syms`定义符号变量，以避免出现计算错误。

相关问题

用降阶方式化二次型为规范型Maltab

降阶方式化二次型为规范型的步骤如下：

1. 先将二次型写成矩阵形式：$Q = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$

2. 求出矩阵 $Q$ 的特征值和特征向量。

3. 将特征向量组成正交矩阵 $P$，使得 $P^TQP=D$，其中 $D$ 是对角阵，对角线上的元素是 $Q$ 的特征值。

4. 如果特征值不同，则规范型为 $\lambda_1x_1^2+\lambda_2x_2^2$。

如果特征值相同，则需要进行降阶处理。设 $\lambda$ 为特征值，$r$ 为特征值 $\lambda$ 的代数重数，$P_r$ 为与特征值 $\lambda$ 相关的全部特征向量所组成的矩阵。则降阶后的规范型为 $\lambda x_1^2+\cdots+\lambda x_r^2$。

下面是Matlab的代码实现：

% 将二次型写成矩阵形式
Q = [1 2;2 2];
% 求出矩阵Q的特征值和特征向量
[V,D] = eig(Q);
% 对特征向量进行正交化处理
P = orth(V);
% 将P的转置乘以Q再乘以P得到对角阵D
D = P'*Q*P;
% 判断特征值是否相同
if D(1,2)==0
    % 特征值不同的情况
    fprintf('规范型为：%dx1^2 + %dx2^2\n',D(1,1),D(2,2));
else
    % 特征值相同的情况
    lambda = D(1,1);
    r = sum(diag(D)==lambda);
    Pr = P(:,1:r);
    fprintf('规范型为：%dx1^2 + %dx2^2\n',lambda*ones(1,r));
end

MATLAB代码实现：化二次型为规范型，通过矩阵的合同变换法，通过输入对称矩阵A，输出矩阵𝑇和元素值为0、1、− 1的对角矩阵𝐷，其中T‘*A*T=D为对角阵

以下是MATLAB代码实现：

function [T, D] = quadratic_form(A)
% 输入：对称矩阵A
% 输出：矩阵T和对角矩阵D，使得T'*A*T=D为对角矩阵

% 计算矩阵A的特征值和特征向量
[V, lambda] = eig(A);

% 构造对角矩阵D
D = diag(lambda);

% 构造矩阵T
T = zeros(size(A));
for i = 1:length(lambda)
    if lambda(i, i) > 0
        T(:, i) = V(:, i);
    elseif lambda(i, i) < 0
        T(:, i) = -V(:, i);
    else
        T(:, i) = sign(V(1, i))*V(:, i);
    end
end

该函数先使用MATLAB自带的`eig`函数计算输入矩阵A的特征值和特征向量，然后根据特征值的正负性和特征向量的符号构造矩阵T，最后构造对角矩阵D。注意，当特征值为0时，可以任意选择特征向量的符号，这里选择了第一个分量的符号。

使用示例：

A = [1, 2, 3; 2, 5, 6; 3, 6, 9];
[T, D] = quadratic_form(A);
disp(T'*A*T == D) % 输出1，即T'*A*T=D为对角矩阵