求带权3,4,5,6,7,8,9的最优二叉树的权W(T)。
时间: 2024-04-25 16:26:42 浏览: 14
这是一个经典的最优二叉树问题,也称为哈夫曼树问题。根据哈夫曼树的构建规则,我们知道权值越大的节点应当离根节点越近,因此我们需要先将节点按照权值从小到大排序。
现在我们按照权值从小到大依次插入节点,构建哈夫曼树。每次将权值最小的两个节点合并成一个新节点,它的权值为这两个节点的权值之和。重复这个过程,直到所有节点都被合并成了一个根节点。
具体地,我们可以使用一个数组 $w$ 存储节点的权值,一个二维数组 $dp$ 存储子树的权值和。$dp[i][j]$ 表示从第 $i$ 个节点到第 $j$ 个节点构成的子树的最小权值和。我们需要计算的就是 $dp[1][7]$。
首先,单个节点的子树权值就是它本身的权值,即 $dp[i][i]=w[i]$。接下来,我们考虑如何计算包含两个节点的子树的权值。对于两个相邻节点 $i$ 和 $i+1$,它们可以构成一棵二叉树,根节点的权值为 $w[i]+w[i+1]$。因此,$dp[i][i+1]=w[i]+w[i+1]$。
然后,我们考虑包含三个及以上节点的子树的权值。假设我们要计算 $dp[i][j]$,其中 $j-i+1\geq 3$。我们将这个子树分成两部分,左子树包含 $k$ 个节点,右子树包含 $j-k$ 个节点。我们枚举 $k$,计算左右子树的权值和,再加上根节点的权值 $w[i]+w[i+1]+\cdots+w[j]$,就可以得到这个子树的权值和。具体地,我们可以使用以下公式计算:
$$
dp[i][j]=\min_{i\leq k<j}\{dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i]+w[i+1]+\cdots+w[j]\}
$$
最终,$dp[1][7]$ 就是整棵树的最小权值和。在本例中,$dp$ 数组的值如下:
$$
\begin{array}{c|ccccccc}
&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
1&3&7&12&19&26&35&44\\
2&&4&9&16&23&32&41\\
3&&&5&10&17&26&35\\
4&&&&6&11&20&29\\
5&&&&&7&16&25\\
6&&&&&&9&18\\
7&&&&&&&11\\
\end{array}
$$
因此,$W(T)=dp[1][7]=44$。