用球坐标计算三重积分 ∭ E e − ( x 2 + y 2 + z 2 ) √ x 2 + y 2 + z 2 d V , 其中 E 是由球体 x 2 + y 2 + z 2 = 4 和 x 2 + y 2 + z 2 = 9 界定的区域。 答案=

首先要确定积分区域 E 在球坐标下的表示。由于 E 是由两个球体围成的，因此可以分为两部分进行积分。第一部分是半径为 2 到 3 的球壳，对应的球坐标范围为 0 ≤ r ≤ 3，0 ≤ θ ≤ π，0 ≤ φ ≤ 2π。第二部分是半径为 0 到 2 的球体，对应的球坐标范围为 2 ≤ r ≤ 3，0 ≤ θ ≤ π，0 ≤ φ ≤ 2π。

将积分区域 E 在球坐标下的表示代入被积函数，得到：

∭ E e^(-(r^2)) * r^2sinθdrdθdφ

将积分区域分成两部分进行积分，得到：

∭ E e^(-(r^2)) * r^2sinθdrdθdφ = ∫0^2∫0^π∫0^(2π) e^(-(r^2)) * r^2sinθdφdθdr + ∫2^3∫0^π∫0^(2π) e^(-(r^2)) * r^2sinθdφdθdr

对于第一部分积分，先对 φ 进行积分：

∫0^(2π) e^(-(r^2)) * r^2sinθdφ = 2πe^(-(r^2)) * r^2sinθ

再对 θ 进行积分：

∫0^π 2πe^(-(r^2)) * r^2sinθdθ = 4πe^(-(r^2)) * r^2

最后对 r 进行积分：

∫0^2 4πe^(-(r^2)) * r^2dr = -2πe^(-(r^2)) * (2r^2 + 1) |0^2 = 2π(1 - e^(-8))

对于第二部分积分，同样先对 φ 进行积分：

∫0^(2π) e^(-(r^2)) * r^2sinθdφ = 2πe^(-(r^2)) * r^2sinθ

再对 θ 进行积分：

∫0^π 2πe^(-(r^2)) * r^2sinθdθ = 4πe^(-(r^2)) * r^2

最后对 r 进行积分：

∫2^3 4πe^(-(r^2)) * r^2dr = -2πe^(-(r^2)) * (2r^2 + 1) |2^3 = 2π (e^(-8) - e^(-18))

因此，整个积分的值为：

2π(1 - e^(-8)) + 2π (e^(-8) - e^(-18)) = 2π(1 - e^(-18))