粘度对一维热固结海粘土的影响中的偏微分方程组matlab求解

偏微分方程组：

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

$$\frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} - \frac{\partial u}{\partial x}$$

其中，$u$ 和 $v$ 分别表示水平方向和竖直方向的位移，$t$ 表示时间，$x$ 表示空间坐标。

为了使用 matlab 求解该方程组，我们需要将其离散化。使用有限差分方法，可以将空间和时间划分为网格，然后使用差分近似来代替导数。

例如，可以使用中心差分法来近似二阶导数：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{(\Delta x)^2}$$

其中，$u_i$ 表示在网格点 $i$ 处的 $u$ 值，$\Delta x$ 表示网格的大小。

类似地，可以使用向前差分法和向后差分法来近似一阶导数：

$$\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1} - u_i}{\Delta x}$$

$$\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i} - u_{i-1}}{\Delta x}$$

将上述差分近似代入原方程组中，得到离散化的方程：

$$\frac{u_{i,j+1} - u_{i,j}}{\Delta t} = \frac{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2}$$

$$\frac{v_{i,j+1} - v_{i,j}}{\Delta t} = \frac{v_{i+1,j} - 2v_{i,j} + v_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} - \frac{u_{i+1,j} - u_{i,j}}{\Delta x}$$

其中，$i$ 和 $j$ 分别表示空间坐标和时间的网格位置，$\Delta t$ 表示时间步长。

使用 matlab 可以将上述方程组转化为矩阵形式，并使用矩阵求解方法求解。具体实现可以参考以下代码：

% 参数设置
L = 1;          % 基底长度
H = 1;          % 基底厚度
nx = 50;        % 网格数量
nt = 100;       % 时间步数
dx = L/nx;      % 空间步长
dt = 0.01;      % 时间步长
alpha = 1;      % 粘度系数

% 初始化矩阵
u = zeros(nx, nt);
v = zeros(nx, nt);

% 初始条件
u(:,1) = 0;
v(:,1) = 0;

% 矩阵系数
A = diag(ones(nx-2,1)*(-2*alpha/dx^2)) + ...
    diag(ones(nx-3,1)*(alpha/dx^2), 1) + ...
    diag(ones(nx-3,1)*(alpha/dx^2), -1);
B = diag(ones(nx-2,1)*(2*alpha/dx^2)) + ...
    diag(ones(nx-3,1)*(-alpha/dx^2), 1) + ...
    diag(ones(nx-3,1)*(-alpha/dx^2), -1);

% 时间推进
for j = 2:nt
    u(2:end-1,j) = A\(B*u(2:end-1,j-1));
    v(2:end-1,j) = A\(B*v(2:end-1,j-1) + ...
        alpha/dx*(u(3:end,j-1) - u(2:end-1,j-1)));
end

% 绘制结果
figure;
plot(linspace(0,L,nx), u(:,end));
xlabel('x');
ylabel('u');
title('Horizontal displacement');

figure;
plot(linspace(0,L,nx), v(:,end));
xlabel('x');
ylabel('v');
title('Vertical displacement');