写一个一维偏微分方程的例题并求解，还要matlab的代码

假设我们需要求解如下的一维热传导方程：

$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

其中，$u(x,t)$表示热传导的温度分布，$k$为热传导系数。我们将求解区域$[0,1]$分成$N$个小段，每个小段长度为$h=\frac{1}{N}$。定义$x_i = i h$为第$i$个节点的位置，$u_i = u(x_i)$为第$i$个节点的温度。则在每个小段上，我们可以将温度分布近似为线性函数：

$$u(x) \approx u_i + \frac{u_{i+1}-u_i}{h}(x-x_i)$$

将该近似代入热传导方程中，得到：

$$\frac{\partial u_i}{\partial t} = k \frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2}$$

注意边界条件，当$x=0$或$x=1$时，温度分布应该是固定的，即$u(0,t)=u_0, u(1,t)=u_N$。因此，我们可以将边界节点的温度固定，只对内部节点的温度进行求解。整理上式，得到：

$$\frac{du_i}{dt} = \frac{k}{h^2}(u_{i+1}-2u_i+u_{i-1})$$

使用欧拉法进行时间离散化，得到：

$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t} = \frac{k}{h^2}(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)$$

其中，$u_i^n$表示第$n$个时间步长时第$i$个节点的温度，$\Delta t$为时间步长。将上式整理，得到：

$$u_i^{n+1} = u_i^n + \frac{k\Delta t}{h^2}(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)$$

这就是一维热传导方程的数值解法。下面是用matlab实现该方法的代码：

% 定义求解区间和节点数
L = 1; % 求解区间长度
N = 100; % 节点数，网格大小为 h = L / N

% 定义时间步长和求解时间段
dt = 0.01;
t = 0:dt:1;

% 定义初始温度分布和边界条件
u0 = sin(pi * (1:N) / (N+1)); % 初始温度分布为 sin(pi*x/L)
u0(1) = 0; % 左边界温度为0
u0(N) = 0; % 右边界温度为0

% 定义热传导系数
k = 1;

% 进行时间循环求解
u = u0;
for i = 1:length(t)-1
    u_new = zeros(size(u));
    for j = 2:N-1 % 内部节点进行计算
        u_new(j) = u(j) + k*dt/(h^2) * (u(j+1)-2*u(j)+u(j-1));
    end
    u = u_new;
end

% 可视化求解结果
plot((1:N)*h, u);
xlabel('x');
ylabel('u');

在上述代码中，我们采用了欧拉法进行时间离散化，使用for循环对每个时间步长进行求解，最后使用plot函数将求解结果可视化出来。