给定一个序列,求最少去掉多少个数,使得剩下的数满足先单增后单减

这是一个经典的动态规划问题，可以使用两个数组分别记录以每个位置结尾的单增子序列的长度和以每个位置开始的单减子序列的长度。具体的，设 $dp1[i]$ 表示以 $i$ 结尾的单增子序列的最大长度，$dp2[j]$ 表示以 $j$ 开始的单减子序列的最大长度，则有：

$$
dp1[i]=\max_{0\le j<i,\,a_j<a_i}\{dp1[j]\}+1
$$

$$
dp2[j]=\max_{i\le k\le n,\,a_j>a_k}\{dp2[k]\}+1
$$

其中 $a_i$ 表示给定的序列中第 $i$ 个数。最终答案为 $\max_{i=1}^n\{dp1[i]+dp2[i]-1\}$，即单增子序列的最大长度加单减子序列的最大长度再减去1。

以下是 Python 代码实现：

def min_remove(nums):
    n = len(nums)
    dp1 = [1] * n
    dp2 = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp1[i] = max(dp1[i], dp1[j] + 1)
        for j in range(n - 1, i - 1, -1):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp2[i] = max(dp2[i], dp2[j] + 1)
    res = 0
    for i in range(n):
        res = max(res, dp1[i] + dp2[i] - 1)
    return n - res

时间复杂度为 $O(n^2)$，可以通过一些优化降低时间复杂度，比如使用二分查找来加速寻找前面的最大值，这里不再赘述。