请在指令窗中,显示出具有最多位有效数字根号2的近似值
时间: 2024-03-21 12:41:53 浏览: 21
要显示具有最多位有效数字的根号2的近似值,可以使用MATLAB的vpa函数。vpa函数可以对符号表达式进行任意精度计算,并返回一个数字或者分数。在MATLAB命令窗口中输入如下命令:
```matlab
vpa(sqrt(2), 100)
```
这个命令将使用100位有效数字精度计算根号2,并返回一个具有100位有效数字的近似值:
```matlab
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727
```
这个近似值比我们之前的30位有效数字精度更加精确。
相关问题
5.试将命令行窗口的数值显示方式设为“compact”型,数值格式设为“long”型。在指令窗中,运行指令a=sqrt(2)。然后请回答以下问题:计算结果a是精准的根号2吗? 该计算结果只是5位有效数字精度的根号2近似吗? 请在指令窗中,显示出具有最多位有效数字的近似值? 。
要将命令行窗口的数值显示方式设为“compact”型,数值格式设为“long”型,请在MATLAB命令窗口中输入如下命令:
```matlab
format compact long
```
接着运行指令a=sqrt(2),得到a的值为:
```matlab
a = 1.414213562373095
```
这个计算结果是5位有效数字精度的根号2近似。
要显示具有最多位有效数字的近似值,可以使用MATLAB的vpa函数。vpa函数可以对符号表达式进行任意精度计算,并返回一个数字或者分数。在MATLAB命令窗口中输入如下命令:
```matlab
vpa(sqrt(2), 30)
```
这个命令将使用30位有效数字精度计算根号2,并返回一个具有30位有效数字的近似值:
```matlab
1.41421356237309504880168872421
```
这个近似值比我们得到的5位有效数字精度更加精确。
要使根号21的近似值的相对误差小于0.1%,应取( )位有效数字?
根据相对误差的定义,我们有:
相对误差 = 绝对误差 / 精确值
其中,绝对误差等于精确值与近似值之差的绝对值。
我们可以用 x 来表示根号21的精确值,用 x* 来表示其近似值。假设我们要让相对误差小于 0.1%,则有:
|x - x*| / x < 0.001
我们可以通过对根号21进行有限位的四舍五入来得到一个近似值 x*,使得其满足上述不等式。设 x* 保留 n 位有效数字,则有:
|x - x*| / x < 0.001
|x - x*| < 0.001 * x
由于 x = 根号21,我们有
|x - x*| < 0.001 * 根号21
根据四舍五入的规则,我们可以将 x* 写成 x* = a * 10^(-m),其中 a 是一个整数,m 是一个正整数,表示将 x 保留 m 位有效数字后得到的结果,且第 m+1 位数字四舍五入。因此,有:
|x - x*| = |x - a * 10^(-m)|
由于 x = 根号21,代入上式得到:
|根号21 - a * 10^(-m)| < 0.001 * 根号21
对于任意一个实数 x,都有 |x| ≤ |x|^2,因此有:
|根号21 - a * 10^(-m)| ≤ |根号21 - a^2 * 10^(-2m)|
因此,我们可以将上式转化为:
|根号21 - a^2 * 10^(-2m)| < 0.001 * 根号21
移项得到:
a^2 * 10^(-2m) - 根号21 < 0.001 * 根号21
忽略掉左边的负号,得到:
a^2 * 10^(-2m) < 1.001 * 根号21
取对数得到:
-2m * log10(10) + log10(a^2) < log10(1.001) + log10(根号21)
整理得到:
-2m + 2 * log10(a) < log10(1.001) + log10(根号21)
由于 a 是一个整数,我们可以枚举 a,并计算出不同 a 值下能够满足上式的最大的 m 值。然后,我们选择最大的 m 值作为保留的有效数字数目。
具体地,我们可以从大到小枚举 a,计算出不同 a 值下满足上式的最大的 m 值。当我们找到一个 a 值使得 m 最大时,即为所求的保留有效数字的数目。
在这个问题中,我们可以先计算出根号21的值为:
根号21 = 4.5826...
然后,我们可以从大到小枚举 a,计算出不同 a 值下满足上式的最大的 m 值:
当 a = 5 时,左边的式子取最大值,即 a^2 * 10^(-2m) = 25 * 10^(-2m)。此时,我们需要满足:
25 * 10^(-2m) < 1.001 * 根号21
解得 m > 4.165。
当 a = 4 时,左边的式子取最大值,即 a^2 * 10^(-2m) = 16 * 10^(-2m)。此时,我们需要满足:
16 * 10^(-2m) < 1.001 * 根号21
解得 m > 3.760。
当 a = 3 时,左边的式子取最大值,即 a^2 * 10^(-2m) = 9 * 10^(-2m)。此时,我们需要满足:
9 * 10^(-2m) < 1.001 * 根号21
解得 m > 3.356。
因此,我们选择 m = 4,即保留 4 位有效数字。