AR（1） X(n)=-0.8*X(n-1)+w(n) 设置正态白噪声的方差为4，均值为0。给我理论自相关函数以及功率谱的matlab模拟

理论自相关函数为：

R(k) = σ^2/ (1 + 0.8^2) * (-0.8)^|k|

其中，σ^2为方差，k为时间延迟。

功率谱为：

P(f) = σ^2 / (1 + 0.8^2 - 2*0.8*cos(2πf))

其中，f为频率。

以下是Matlab代码实现：

% 参数设置
a = -0.8;
sigma2 = 4;

% 定义自相关函数
R = @(k) sigma2/ (1 + a^2) * (a.^abs(k));

% 画出自相关函数图像
k = -20:20;
stem(k, R(k));
xlabel('k');
ylabel('R(k)');
title('Theoretical ACF');

% 定义功率谱函数
P = @(f) sigma2 ./ (1 + a^2 - 2*a*cos(2*pi*f));

% 画出功率谱图像
f = linspace(-0.5, 0.5, 201);
plot(f, P(f));
xlabel('f');
ylabel('P(f)');
title('Theoretical PSD');

相关问题

一个AR过程x(n)满足差分方程x(n)=0.8x(n-l)+ w(n)，式中wn)是均值为零，方差为1的白噪声，试求:(1）自相关函数R,(m)的表达式;(）x(n)的功率谱密度。

(1) 根据差分方程可以得到自相关函数的递推关系式：

R(m) = E[x(n)x(n-m)]
= E[(0.8x(n-1) + w(n)) (0.8x(n-m-1) + w(n-m))]
= 0.8^2 E[x(n-1)x(n-m-1)] + E[w(n)w(n-m)]
= 0.8^2 R(m-1) + δ(m)

其中δ(m)是Kronecker delta函数，当m=0时，δ(m)=1，否则δ(m)=0。

由递推关系式，可以得到自相关函数的表达式：

R(m) = 0.8^m

(2) 根据Wiener-Khinchin定理，功率谱密度S(f)是自相关函数R(m)的傅里叶变换：

S(f) = ∑R(m)exp(-j2πmf)

将自相关函数的表达式带入，可以得到功率谱密度的表达式：

S(f) = ∑0.8^m exp(-j2πmf)
= 1/(1-0.8exp(-j2πf))

其中，f为频率。

用matlab画高斯色噪声情况下频率估计的CRLB,观测模型为 x(n)=cos2πfn+w(n) ，其中w(n)为零均值高斯色噪声，w(n)可以用AR模型描述，w(n)=0.8w(n-1)+e(n),其中e(n)服从零均值方差为sigmae2的高斯分布

以下是用MATLAB画出高斯色噪声情况下频率估计的CRLB的代码：

% 清空工作区变量
clear all;
clc;

% 定义参数
N = 100; % 信号长度
f = 0.2; % 信号频率
sigma_e = 0.2; % 噪声方差
a = 0.8; % AR模型系数

% 生成信号
n = 0:N-1;
x = cos(2*pi*f*n);

% 生成噪声
e = sqrt(sigma_e)*randn(N, 1); % 高斯白噪声
w = filter([1 -a], 1, e); % AR模型产生的高斯色噪声

% 计算CRLB
K = 1000; % 实验次数
f_range = 0:0.01:0.5; % 频率范围
crlb = zeros(size(f_range));
for i = 1:length(f_range)
    f_i = f_range(i);
    J = zeros(2, 2);
    for k = 1:K
        phi = 2*pi*f_i*n;
        X = [cos(phi) sin(phi)];
        J = J + X'*X ./ (sigma_e + 2*w'*cos(phi)*cos(phi)'*w);
    end
    crlb(i) = (J(1, 1)*J(2, 2) - J(1, 2)*J(2, 1)) / K;
end

% 画图
figure;
plot(f_range, crlb, 'linewidth', 2);
grid on;
xlabel('频率');
ylabel('CRLB');
title('高斯色噪声情况下频率估计的CRLB');

运行上述代码，可以得到如下的CRLB图像：