研究不同长度的矩形信号的卷积过程,并给出结果
时间: 2024-03-26 16:41:54 浏览: 16
假设有两个信号f(t)和g(t),f(t)是一个长度为L1的矩形信号,g(t)是一个长度为L2的矩形信号,则它们的卷积函数h(t)可以表示为:
h(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ
对于矩形信号,f(τ)和g(t-τ)在非零区间内的值均为常数,因此可以将积分转换为乘法,即:
h(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ = f(τ) * g(t-τ) (τ从0到min(L1,L2))
其中,*表示卷积运算。
下面分别给出长度为L1=4和L2=6的矩形信号的卷积过程:
当L1=4,L2=6时,h(t)的长度为L1+L2-1=9。
f(t)信号:
```
______
| |
__| |__
0 L1=4
```
g(t)信号:
```
____________
| |
__| |__
0 L2=6
```
h(t)信号:
```
_________________________
| |
__| |__
0 L1+L2-1=9
```
根据上述公式,可以得到h(t)的表达式:
h(t) = f(τ) * g(t-τ),其中τ从0到min(L1,L2)。
当t=0时,h(0)的值为:
h(0) = f(0) * g(0) + f(1) * g(-1) + f(2) * g(-2) + f(3) * g(-3)
g(-1)、g(-2)和g(-3)的值均为0,因此上式可以简化为:
h(0) = f(0) * g(0) = 1 * 1 = 1
当t=1时,h(1)的值为:
h(1) = f(0) * g(1) + f(1) * g(0) + f(2) * g(-1) + f(3) * g(-2)
g(-1)和g(-2)的值均为0,因此上式可以简化为:
h(1) = f(0) * g(1) + f(1) * g(0) = 1 * 1 + 1 * 1 = 2
当t=2时,h(2)的值为:
h(2) = f(0) * g(2) + f(1) * g(1) + f(2) * g(0) + f(3) * g(-1)
g(-1)的值为0,因此上式可以简化为:
h(2) = f(0) * g(2) + f(1) * g(1) + f(2) * g(0) = 1 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1 = 3
当t=3时,h(3)的值为:
h(3) = f(0) * g(3) + f(1) * g(2) + f(2) * g(1) + f(3) * g(0)
上式可以简化为:
h(3) = f(0) * g(3) + f(1) * g(2) + f(2) * g(1) + f(3) * g(0) = 1 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1 = 4
当t=4时,h(4)的值为:
h(4) = f(1) * g(3) + f(2) * g(2) + f(3) * g(1)
上式可以简化为:
h(4) = f(1) * g(3) + f(2) * g(2) + f(3) * g(1) = 1 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1 = 3
当t=5时,h(5)的值为:
h(5) = f(2) * g(3) + f(3) * g(2)
上式可以简化为:
h(5) = f(2) * g(3) + f(3) * g(2) = 1 * 1 + 1 * 1 = 2
当t=6时,h(6)的值为:
h(6) = f(3) * g(3)
上式可以简化为:
h(6) = f(3) * g(3) = 1 * 1 = 1
当t=7、8时,h(t)的值均为0。
综上所述,长度为4和6的矩形信号的卷积结果为:
```
h(t) = [1 2 3 4 3 2 1 0 0]
```
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