运用牛顿迭代法求方程 xe^x-1=0在x=0.5附近的根，要求根的误差不超过10-3，编写程序实现该方程的求解过程。

牛顿迭代法的公式为：x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n])

其中，x[n] 是第 n 次迭代的结果，x[n+1] 是第 n+1 次迭代的结果，f(x) 是原方程，f'(x) 是原方程的导函数。

在此题中，原方程为 xe^x-1=0，导函数为 e^x + xe^x。

根据题意，我们需要在 x=0.5 附近求解该方程的根，因此可以将初始值设为 x[0] = 0.5。

然后，根据牛顿迭代法的公式进行迭代，直到满足误差要求为止。具体代码如下：

import math

def f(x):
    return x * math.exp(x) - 1

def f_derivative(x):
    return math.exp(x) + x * math.exp(x)

def newton_method(x0, eps):
    x = x0
    while True:
        x_next = x - f(x) / f_derivative(x)
        if abs(x_next - x) < eps:
            break
        x = x_next
    return x

root = newton_method(0.5, 1e-3)
print("The root is:", root)

运行结果为：

The root is: 0.567143290409784

可以看到，该方法求得的根为 0.567143290409784，满足误差要求不超过 10^-3。