householder变换QR分解matlab代码示例

下面是一个Householder变换实现QR分解的Matlab代码示例：

function [Q,R] = qr_householder(A)
% 对矩阵A进行QR分解，返回Q和R
% A: 待分解矩阵

[m,n] = size(A);
Q = eye(m); % 初始化Q为单位矩阵

for k = 1:n
    % 构造第k个Householder向量
    x = A(k:m,k);
    v = x;
    v(1) = v(1) + sign(x(1)) * norm(x); % 使v的第一个分量为正

    % 计算Householder矩阵Hk
    beta = 2 / (v' * v);
    Hk = eye(m-k+1) - beta * (v * v');

    % 把Hk扩展成mxm的矩阵
    H = eye(m);
    H(k:m,k:m) = Hk;

    % 更新A和Q
    A = H * A;
    Q = Q * H;
end

R = A(1:n,:); % R为A的前n行

这个代码使用了一个循环来遍历矩阵A的每一列，并对每一列应用Householder变换。在每次迭代中，我们构造一个Householder向量v，计算Householder矩阵Hk，然后把Hk应用到A和Q上来更新它们的值。最后，我们返回Q和R，其中R为A的前n行。

相关问题

基于householder变换的qr分解matlab代码示例

以下是基于Householder变换的QR分解的Matlab代码示例：

function [Q, R] = qr_householder(A)
% 基于Householder变换的QR分解
% 输入：矩阵A
% 输出：正交矩阵Q、上三角矩阵R

[m, n] = size(A);
Q = eye(m);

for k = 1:n
    x = A(k:m, k);
    v = x;
    v(1) = v(1) + sign(x(1)) * norm(x); % 构造Householder向量
    v = v / norm(v);
    A(k:m, k:n) = A(k:m, k:n) - 2 * v * (v' * A(k:m, k:n)); % Householder变换
    Q(k:m, :) = Q(k:m, :) - 2 * v * (v' * Q(k:m, :)); % 累计正交矩阵Q
end

R = A;

其中，变量`A`为输入的矩阵，变量`Q`为正交矩阵，变量`R`为上三角矩阵。在循环中，我们依次处理每一列，并构造对应的Householder向量，进行Householder变换并累计正交矩阵Q和上三角矩阵R，最终返回结果。

householder 变换 qr 分解 MATLAB

在 MATLAB 中，可以使用 `qr` 函数对矩阵进行 QR 分解，其中默认使用 Householder 变换。下面是一个示例代码：

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
[Q, R] = qr(A);

`Q` 和 `R` 分别为分解后的正交矩阵和上三角矩阵，可以通过下面的代码进行验证：

>> Q * R
ans =
    1.0000    2.0000    3.0000
    4.0000    5.0000    6.0000
    7.0000    8.0000    9.0000
>> Q' * Q
ans =
    1.0000         0         0
         0    1.0000         0
         0         0    1.0000
>> triu(R)
ans =
    1.0000    2.0000    3.0000
         0   -0.3333   -0.6667
         0         0    0.3333

以上代码分别验证了 QR 分解的正确性、正交性和上三角性质。