[转]线性插值&双线性插值&三线性插值

好的，我知道了。下面是我对线性插值、双线性插值和三线性插值的简要介绍：

1. 线性插值

线性插值是一种基本的插值方法，它通过已知的两个点来估计中间的值。假设我们要在点 $(x_0, y_0)$ 和 $(x_1, y_1)$ 之间插值，那么对于 $x \in [x_0, x_1]$，可用以下公式计算出 $y$ 的近似值：

$$y = y_0 + (y_1 - y_0) \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}$$

2. 双线性插值

双线性插值是一种常用的二维插值方法，它适用于在一个矩形网格上进行插值。假设我们要在四个已知点 $(x_0, y_0)$，$(x_1, y_0)$，$(x_0, y_1)$ 和 $(x_1, y_1)$ 形成的矩形网格上插值，那么对于任意点 $(x,y)$，可用以下公式计算出近似值：

$$f(x,y) = f_{00}(1-t)(1-s) + f_{10}t(1-s) + f_{01}(1-t)s + f_{11}ts$$

其中，$f_{ij}$ 表示 $(x_i, y_i)$ 的函数值，$s$ 和 $t$ 是插值点 $(x,y)$ 在水平和竖直方向上相对于 $(x_0,y_0)$ 的距离比例。具体而言，$s$ 和 $t$ 可以通过以下公式计算：

$$s = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0},\quad t = \frac{y - y_0}{y_1 - y_0}$$

3. 三线性插值

三线性插值是一种常用的三维插值方法，它适用于在一个立方体网格上进行插值。假设我们要在八个已知点 $(x_0,y_0,z_0)$，$(x_1,y_0,z_0)$，$(x_0,y_1,z_0)$，$(x_1,y_1,z_0)$，$(x_0,y_0,z_1)$，$(x_1,y_0,z_1)$，$(x_0,y_1,z_1)$ 和 $(x_1,y_1,z_1)$ 形成的立方体网格上插值，那么对于任意点 $(x,y,z)$，可用以下公式计算出近似值：

$$f(x,y,z) = \sum_{i=0}^1 \sum_{j=0}^1 \sum_{k=0}^1 f_{ijk}(1-t_i)(1-s_j)(1-r_k)$$

$$+ \sum_{i=0}^1 \sum_{j=0}^1 \sum_{k=0}^1 f_{i+1,j,k}t_i(1-s_j)(1-r_k) $$

$$+ \sum_{i=0}^1 \sum_{j=0}^1 \sum_{k=0}^1 f_{i,j+1,k}(1-t_i)s_j(1-r_k) $$

$$+ \sum_{i=0}^1 \sum_{j=0}^1 \sum_{k=0}^1 f_{i,j,k+1}(1-t_i)(1-s_j)r_k $$

$$+ \sum_{i=0}^1 \sum_{j=0}^1 \sum_{k=0}^1 f_{i+1,j+1,k}t_is_j(1-r_k) $$

$$+ \sum_{i=0}^1 \sum_{j=0}^1 \sum_{k=0}^1 f_{i+1,j,k+1}t_i(1-s_j)r_k $$

$$+ \sum_{i=0}^1 \sum_{j=0}^1 \sum_{k=0}^1 f_{i,j+1,k+1}(1-t_i)s_jr_k $$

$$+ \sum_{i=0}^1 \sum_{j=0}^1 \sum_{k=0}^1 f_{i+1,j+1,k+1}t_is_jr_k$$

其中，$f_{ijk}$ 表示 $(x_i,y_j,z_k)$ 的函数值，$s$、$t$ 和 $r$ 是插值点 $(x,y,z)$ 在三个方向上相对于 $(x_0,y_0,z_0)$ 的距离比例。具体而言，$s$、$t$ 和 $r$ 可以通过以下公式计算：

$$s = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0},\quad t = \frac{y - y_0}{y_1 - y_0},\quad r = \frac{z - z_0}{z_1 - z_0}$$

以上就是三种插值方法的简要介绍。希望对你有所帮助！