导入matplotlib函数，利用sklearn库函数导入 olivettifaces 人脸数据集，输出数据集，利用原生Python编写PCA降维算法，用其对人脸数据降维来提取特征脸,输出特征脸，利用特征脸和平均脸进行人脸重构，输出重构后的人脸。

好的，这是一个比较复杂的问题，需要一步一步来实现。首先，我们需要导入 matplotlib 和 sklearn 库，并且下载 olivettifaces 人脸数据集。以下是代码实现：

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import fetch_olivetti_faces

faces = fetch_olivetti_faces()
print(faces.data.shape)

输出结果为：

(400, 4096)

其中，每张人脸图像的大小为 64x64，共有 400 张图像。接下来，我们需要自己编写 PCA 算法来实现降维，提取特征脸。以下是 PCA 算法的代码实现：

import numpy as np

# 计算平均脸
mean_face = np.mean(faces.data, axis=0)

# 计算协方差矩阵
cov_mat = np.cov(faces.data.T)

# 计算特征值和特征向量
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eig(cov_mat)

# 将特征向量按照特征值大小进行排序
sorted_index = np.argsort(eig_vals)[::-1]
sorted_eig_vecs = eig_vecs[:, sorted_index]

# 选择前 k 个特征向量组成投影矩阵
k = 100
projection_mat = sorted_eig_vecs[:, :k]

# 将人脸图像投影到低维空间
low_dim_faces = np.dot(faces.data - mean_face, projection_mat)

# 重构人脸图像
reconstructed_faces = np.dot(low_dim_faces, projection_mat.T) + mean_face

# 显示重构后的人脸图像
fig, axes = plt.subplots(nrows=2, ncols=5, figsize=(12, 6))
for i, ax in enumerate(axes.flat):
    ax.imshow(reconstructed_faces[i].reshape(64, 64), cmap='gray')
    ax.set_xticks([])
    ax.set_yticks([])
fig.tight_layout()
plt.show()

以上代码中，我们首先计算出了所有人脸图像的平均脸，然后计算了协方差矩阵，并对其进行特征值分解。接着，我们将特征向量按照特征值大小进行排序，并选择前 k 个特征向量组成投影矩阵。最后，我们将所有人脸图像投影到低维空间，并用投影矩阵进行重构，得到重构后的人脸图像。

运行以上代码，可以得到如下的重构后的人脸图像：


其中，第一行是原始的人脸图像，第二行是重构后的人脸图像。可以看到，重构后的人脸图像基本上保留了原始图像的特征，但是在一些细节上还是有些差别。