2 基于 PCA 的特征脸提取和人脸重构 2.1 加载 olivettifaces 人脸数据集2.2 使用 PCA 对人脸进行降维和特征脸提取 2.3 基于特征脸和平均脸的人脸重构

2.1 加载 OlivettiFaces 人脸数据集

OlivettiFaces 数据集包含 400 张 64x64 像素的人脸图片，每张图片都属于 40 个人中的一个人。这个数据集可以从 scikit-learn 库中直接加载：

from sklearn.datasets import fetch_olivetti_faces

faces = fetch_olivetti_faces()

2.2 使用 PCA 对人脸进行降维和特征脸提取

PCA（Principal Component Analysis）是一种常用的降维算法，可以把高维数据映射到低维空间。在人脸识别任务中，PCA 可以用来提取特征脸。

特征脸是指在训练数据集上通过 PCA 得到的一组基，这些基可以用来描述数据集中的大部分变化。对于每个像素位置，特征脸都有一个对应的权重，这些权重构成了一个向量，称为人脸的特征向量。

下面的代码使用 scikit-learn 库中的 PCA 类对 OlivettiFaces 数据集进行降维和特征脸提取：

from sklearn.decomposition import PCA

# 将数据展平成二维数组
X = faces.data.reshape((400, -1))

# 创建 PCA 对象，并拟合数据
pca = PCA(n_components=100)
pca.fit(X)

# 提取特征脸
eigenfaces = pca.components_.reshape((100, 64, 64))

2.3 基于特征脸和平均脸的人脸重构

特征脸和平均脸可以用来重构人脸。具体来说，给定一个人脸图像，我们可以把它展平成一个向量，然后乘以特征脸的权重向量，再加上平均脸。这样就得到了一个新的向量，把它重新变成一个二维数组，就得到了重构后的图像。

下面的代码演示了如何使用特征脸和平均脸对人脸进行重构：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 选择一张人脸图像作为示例
face_index = 0
example_face = X[face_index]

# 计算该人脸图像的特征向量
weights = pca.transform([example_face])[0]

# 计算重构后的图像
mean_face = pca.mean_
reconstructed_face = np.dot(weights, pca.components_) + mean_face

# 将向量重新变成二维数组
reconstructed_face = reconstructed_face.reshape((64, 64))

# 显示原始图像和重构后的图像
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(8, 4))
axes[0].imshow(example_face.reshape((64, 64)), cmap='gray')
axes[0].set_title('Original Face')
axes[1].imshow(reconstructed_face, cmap='gray')
axes[1].set_title('Reconstructed Face')
plt.show()

运行以上代码，就可以看到原始图像和重构后的图像。可以发现，重构后的图像与原始图像非常相似，但是有一些细节上的差异。这些差异可能是由于 PCA 降维引入的信息损失造成的。