复化梯形递推公式Python

复化梯形公式是一种数值积分方法，可以用于计算函数在一个区间上的定积分。其递推公式如下：

$I_n = \frac{h}{2}(f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i) + f(b))$

其中，$n$ 为分割区间数，$h = \frac{b-a}{n}$ 为每个子区间的长度，$x_i = a + ih$ 为每个子区间的右端点。

下面是Python代码实现：

def trapezoidal_rule(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    s = 0.5 * (f(a) + f(b))
    for i in range(1, n):
        s += f(a + i * h)
    return h * s

其中，`f` 是被积函数，`a` 和 `b` 是积分区间的左右端点，`n` 是分割的子区间数。返回值为数值积分结果。

相关问题

试采用梯形递推公式，编程计算 的近似积分值，要求能够根据所输入的精度要求，通过截断误差的事后预估，确定步长。用python方法编程。

好的，以下是代码实现：

import math

def trapezoidal_rule(f, a, b, n):
    """
    梯形递推公式计算函数f在区间[a,b]上的近似积分值
    :param f: 被积函数
    :param a: 积分下限
    :param b: 积分上限
    :param n: 划分的区间数
    :return: 近似积分值
    """
    h = (b - a) / n
    s = (f(a) + f(b)) / 2
    for i in range(1, n):
        s += f(a + i * h)
    return s * h

def adaptive_trapezoidal_rule(f, a, b, tol):
    """
    自适应梯形递推公式计算函数f在区间[a,b]上的近似积分值
    :param f: 被积函数
    :param a: 积分下限
    :param b: 积分上限
    :param tol: 精度要求
    :return: 近似积分值
    """
    fa, fb = f(a), f(b)
    I = (b - a) * (fa + fb) / 2
    n = 1
    while True:
        h = (b - a) / n
        s = sum(f(a + i * h) for i in range(1, n))
        I_half = I / 2 + h * s / 2
        if abs(I_half - I) < tol:
            return I_half
        else:
            I = I_half
            n *= 2

# 测试代码
f = lambda x: math.sin(x) / x
a, b = 0.01, 1
tol = 1e-6
I_approx = adaptive_trapezoidal_rule(f, a, b, tol)
print("近似积分值：", I_approx)

解释一下代码的实现思路：

- `trapezoidal_rule`: 实现了梯形递推公式的计算，其中`h`是步长，`s`是对区间内所有点进行加权求和的结果。
- `adaptive_trapezoidal_rule`: 实现了自适应梯形递推公式的计算，其中`I`是初步的积分估计值，`n`是区间数。在每一次迭代中，我们根据当前的区间数和步长计算出新的估计值`I_half`，并通过比较`I_half`和`I`的差距来判断是否达到了要求。如果达到了，我们返回`I_half`；如果没有达到，我们将`I_half`作为新的初始估计值，将区间数`n`翻倍，再次计算。

希望这段代码能够帮助你解决问题。如果有不明白的地方，随时可以问我。

python 复化梯形递推算式

复化梯形公式是一种数值积分方法，可以用于求解定积分。其递推公式如下：

$$
I_n = \frac{h}{2} [f(a) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(b)]
$$

其中，$n$ 表示等分的区间数，$h$ 表示每个小区间的长度，$a$ 和 $b$ 分别表示积分区间的下限和上限，$x_i = a + ih$。

该公式的递推方式为：首先计算 $I_1$，然后利用 $I_k$ 计算 $I_{k+1}$，直到达到所需精度或达到最大迭代次数为止。

下面是 Python 中复化梯形公式的递推算法实现：

def composite_trapezoidal_rule(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    x = [a + i * h for i in range(n + 1)]
    s = sum([f(x[i]) for i in range(1, n)])
    return (h / 2) * (f(a) + f(b) + 2 * s)

其中，$f$ 表示被积函数，$a$ 和 $b$ 分别表示积分区间的下限和上限，$n$ 表示等分的区间数。函数返回定积分的近似值。