矩阵的行列式等于矩阵的逆的行列式吗
时间: 2023-12-03 08:02:37 浏览: 66
不完全正确。
对于一个n阶方阵A,如果A可逆,则有:
det(A) ≠ 0,且A的逆矩阵记为A^-1
则有:
det(A) × det(A^-1) = det(AA^-1) = det(I) = 1
因此,det(A^-1) = 1/det(A)
所以,如果A可逆,则矩阵的行列式等于矩阵的逆的行列式的倒数。
但是,如果A不可逆,则没有逆矩阵,也没有行列式,因此没有必然的关系。
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矩阵乘以矩阵的伴随等于行列式乘以矩阵
非常抱歉,我之前的回答有误,请允许我进行更正。矩阵乘以其伴随矩阵并不等于行列式乘以矩阵。
事实上,矩阵乘以其伴随矩阵会得到一个特殊的矩阵,称为伴随矩阵的逆矩阵与矩阵的行列式的乘积。具体来说,对于一个 n × n 的矩阵 A,它的伴随矩阵记作 adj(A),则有以下等式成立:
A * adj(A) = adj(A) * A = det(A) * I
其中,det(A) 表示矩阵 A 的行列式,I 是单位矩阵。
这个等式表明,矩阵 A 乘以其伴随矩阵(或者由其伴随矩阵乘以 A)的结果是一个数量乘以单位矩阵。
再次对之前的错误回答表示诚挚的道歉,希望这次能够解答您的问题。如果还有其他问题,请随时提问。
伴随矩阵的行列式与原矩阵的行列式
伴随矩阵的行列式与原矩阵的行列式有一个非常重要的关系,即:
det(adj(A)) = det(A)^(n-1)
其中,A是一个n阶方阵,n为任意正整数。这个公式表明,伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的(n-1)次方。因此,如果原矩阵的行列式为0,则伴随矩阵不存在逆矩阵。
这个公式的证明可以通过矩阵的初等变换和行列式的性质来完成。具体来说,可以通过矩阵的初等变换将原矩阵A转化为一个上三角矩阵U,然后利用行列式的性质det(AB)=det(A)det(B)和det(U)=U的对角线元素的乘积,来证明上述公式的正确性。