五次多项式的相关系数、绝对误差、相对误差、均差、收敛性的计算公式和判断依据，其中公式为tex格式

五次多项式的相关系数可以通过最小二乘法来计算，具体公式如下：

设五次多项式为 $y = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f$，有 $n$ 组数据 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)$，则相关系数可以通过以下公式计算：

$$
S_{xx} = \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \\
S_{xy} = \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})
$$

其中 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 分别为 $x$ 和 $y$ 的平均值。

然后可以计算出相关系数 $a$、$b$、$c$、$d$、$e$ 和 $f$：

$$
a = \frac{n\sum_{i=1}^n x_i^5 - \sum_{i=1}^n x_i^4 \sum_{i=1}^n x_i}{S_{yy}} - \frac{n\sum_{i=1}^n x_i^4y_i - \sum_{i=1}^n x_i^3y_i \sum_{i=1}^n x_i}{S_{xy}} + \frac{\sum_{i=1}^n x_i^4 \sum_{i=1}^n x_i^2 y_i - \sum_{i=1}^n x_i^3 \sum_{i=1}^n x_i^3 y_i}{S_{xx}} \\
b = \frac{n\sum_{i=1}^n x_i^4y_i - \sum_{i=1}^n x_i^3y_i \sum_{i=1}^n x_i}{S_{yy}} - \frac{n\sum_{i=1}^n x_i^3y_i \sum_{i=1}^n x_i^2 - \sum_{i=1}^n x_i^2y_i \sum_{i=1}^n x_i^3}{S_{xy}} + \frac{\sum_{i=1}^n x_i^3 \sum_{i=1}^n x_i^2 y_i - \sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{i=1}^n x_i^3 y_i}{S_{xx}} \\
c = \frac{n\sum_{i=1}^n x_i^3y_i \sum_{i=1}^n x_i^2 - \sum_{i=1}^n x_i^2y_i \sum_{i=1}^n x_i^3}{S_{yy}} - \frac{n\sum_{i=1}^n x_i^2y_i \sum_{i=1}^n x_i^3 - \sum_{i=1}^n x_iy_i \sum_{i=1}^n x_i^4}{S_{xy}} + \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2y_i \sum_{i=1}^n x_i^3 - \sum_{i=1}^n x_iy_i \sum_{i=1}^n x_i^4}{S_{xx}} \\
d = \frac{n\sum_{i=1}^n x_i^2y_i \sum_{i=1}^n x_i^3 - \sum_{i=1}^n x_iy_i \sum_{i=1}^n x_i^4}{S_{yy}} - \frac{n\sum_{i=1}^n x_iy_i \sum_{i=1}^n x_i^4 - \sum_{i=1}^n y_i \sum_{i=1}^n x_i^5}{S_{xy}} + \frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i \sum_{i=1}^n x_i^4 - \sum_{i=1}^n y_i \sum_{i=1}^n x_i^5}{S_{xx}} \\
e = \frac{n\sum_{i=1}^n x_iy_i \sum_{i=1}^n x_i^4 - \sum_{i=1}^n y_i \sum_{i=1}^n x_i^5}{S_{yy}} - \frac{n\sum_{i=1}^n y_i \sum_{i=1}^n x_i^5 - \sum_{i=1}^n x_i \sum_{i=1}^n x_i^4y_i}{S_{xy}} + \frac{\sum_{i=1}^n y_i \sum_{i=1}^n x_i^5 - \sum_{i=1}^n x_i \sum_{i=1}^n x_i^4y_i}{S_{xx}} \\
f = \frac{n\sum_{i=1}^n y_i - \sum_{i=1}^n x_iy_i \sum_{i=1}^n x_i^4}{S_{yy}} - \frac{n\sum_{i=1}^n x_iy_i \sum_{i=1}^n x_i^4 - \sum_{i=1}^n x_i^2y_i \sum_{i=1}^n x_i^3}{S_{xy}} + \frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i \sum_{i=1}^n x_i^4 - \sum_{i=1}^n x_i^2y_i \sum_{i=1}^n x_i^3}{S_{xx}}
$$

其中 $S_{yy} = \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2$。

绝对误差可以通过以下公式计算：

$$
E = \sum_{i=1}^n |y_i - f(x_i)|
$$

相对误差可以通过以下公式计算：

$$
R = \frac{\sum_{i=1}^n |y_i - f(x_i)|}{\sum_{i=1}^n |y_i|}
$$

均差可以通过以下公式计算：

$$
M = \frac{E}{n}
$$

收敛性的判断依据是，随着数据量的增加，相关系数的变化趋势是否趋于稳定。如果相关系数的变化趋势逐渐趋于平稳，那么就可以认为该五次多项式具有良好的收敛性。