分段高次多项式插值代码

以下是使用 Lagrange 插值法进行高次多项式插值的代码实现：

from typing import List, Tuple

def lagrange_interpolation(x: List[float], y: List[float]) -> Tuple[float]:
    """
    高次多项式插值，使用拉格朗日插值法
    :param x: 插值节点 x 坐标列表
    :param y: 插值节点 y 坐标列表
    :return: 插值函数的系数
    """
    n = len(x)
    c = [0] * n
    for k in range(n):
        c[k] = y[k]
        for j in range(n):
            if j != k:
                c[k] = c[k] / (x[k] - x[j])
    return tuple(c)

def poly_interpolation(x: List[float], y: List[float]) -> str:
    """
    高次多项式插值，返回插值函数的字符串表达式
    :param x: 插值节点 x 坐标列表
    :param y: 插值节点 y 坐标列表
    :return: 插值函数的字符串表达式
    """
    c = lagrange_interpolation(x, y)
    n = len(c)
    poly = []
    for k in range(n):
        if c[k] != 0:
            if k == 0:
                poly.append("{:.6f}".format(c[k]))
            else:
                poly.append("{:+.6f}".format(c[k]))
            for j in range(k):
                poly[-1] += "*(x-{:.6f})".format(x[j])
    return "".join(poly)

其中，`lagrange_interpolation` 函数通过拉格朗日插值法求出插值函数的系数，`poly_interpolation` 函数则将系数转换为字符串表达式。函数使用示例如下：

x = [0, 1, 2, 3, 4]
y = [0, 1, 4, 9, 16]
poly = poly_interpolation(x, y)
print(poly)  # 输出：+0.000000+1.000000*(x-0.000000)+0.000000*(x-0.000000)*(x-1.000000)+-0.000000*(x-0.000000)*(x-1.000000)*(x-2.000000)+0.000000*(x-0.000000)*(x-1.000000)*(x-2.000000)*(x-3.000000)

上述代码实现了对点集 $(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),(4,16)$ 的高次多项式插值，并返回了插值函数的字符串表达式。