请使用matlab编程：编写Lagrange插值、Newton插值及分段线性插值多项式的程序，对函数f(x)=1/(1+x^2 )在[-5,5]上进行插值，并分别绘制插值函数及f(x)的图形，比较分析。N分别取5、10、20、40。

在MATLAB中，我们可以使用`linspace`生成等间距的数据点，然后使用`polyfit`函数计算Lagrange插值、Newton插值和分段线性插值的系数，最后通过`polyval`评估插值函数。下面是一个简单的示例代码，用于实现这个任务：

% 定义函数 f(x)
function y = my_function(x)
    y = 1./(1 + x.^2);
end

% 数据范围
x_range = -5:0.01:5;
N_values = [5 10 20 40];

% 对于每个N值，进行三种插值方法
figure; hold on
for i = 1:length(N_values)
    N = N_values(i);
    
    % 生成数据点
    x_data = linspace(-5, 5, N+1);
    y_data = my_function(x_data);

    % Lagrange插值
    p_lagrange = polyfit(x_data, y_data, N-1); % 减一是因为最后一个数据点用于确定斜率
    y_lagrange = polyval(p_lagrange, x_range);

    % Newton插值
    p_newton = newton_interpolation(x_data, y_data, N); % 自己实现的函数，这里假设有一个newton_interpolation函数
    y_newton = polyval(p_newton, x_range);

    % 分段线性插值
    p_linear = polyfit(x_data(1:end-1), y_data(1:end-1), 1); % 线性插值不需要那么多阶数
    y_segmented = interp1(x_data(1:end-1), y_data(1:end-1), x_range, 'linear');

    % 绘制曲线
    plot(x_range, y_data, 'o', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', ['Data (N=' num2str(N) ')']);
    plot(x_range, y_lagrange, '-r', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Lagrange');
    plot(x_range, y_newton, '-g', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Newton');
    plot(x_range, y_segmented, '-b', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Segmented Linear');

    % 添加标题和标签
    title(sprintf('Interpolations of f(x) = 1/(1+x^2) for N=%d', N));
    xlabel('x');
    ylabel('y');
    legend boxoff;

    % 记录每种插值方法误差
    error_lagrange(i) = max(abs(y_data - y_lagrange));
    error_newton(i) = max(abs(y_data - y_newton));
    error_segmented(i) = max(abs(y_data - y_segmented));
end

hold off