根据矩阵秩的性质有r(A)+r(A*)≤n
时间: 2023-05-29 13:03:26 浏览: 393
其中,r(A)表示矩阵A的秩,r(A*)表示矩阵A的共轭转置矩阵的秩,n表示矩阵A的列数(也是行数)。
这个性质的意义在于,矩阵A和其共轭转置矩阵A*的秩不可能超过矩阵A的列数(也是行数)。
举个例子,如果一个矩阵A是3×4的矩阵,那么它的列数为4,根据上述性质,r(A)和r(A*)都不可能超过4。如果r(A)=3,那么r(A*)最多只能是4-3=1;如果r(A*)=2,那么r(A)最多只能是4-2=2。
这个性质可以用来判断矩阵是否可逆,因为一个矩阵可逆当且仅当它的秩等于其列数(也是行数)。如果r(A)=n,那么A可逆;如果r(A)<n,那么A不可逆。
相关问题
怎么证明根据矩阵秩的性质有r(A)+r(A*)≤n
首先,我们需要知道以下几个性质:
1. 矩阵 A 的秩 r(A) 表示 A 的列空间的维数,也表示 A 的行空间的维数。
2. 矩阵 A 的伴随矩阵 A* 的秩 r(A*) 表示 A 的行空间的维数,也表示 A 的列空间的维数。
3. 对于任意矩阵 A,有 r(A) ≤ min(m,n),其中 m 和 n 分别是 A 的行数和列数。
根据以上性质,我们可以得到:
r(A) ≤ min(m,n)
r(A*) ≤ min(m*,n*)
其中,m* 和 n* 分别是 A* 的行数和列数。
由于 A* 的行数和列数分别为 n 和 m,因此:
m* = n
n* = m
将这两个式子代入上式可得:
r(A*) ≤ min(n,m) = min(m*,n*)
因此,有 r(A) r(A*) ≤ n。
矩阵A,B;r(A+B)=n,r{A上,B在A下}是多少
根据矩阵秩的性质,有 $r(A+B) \leq r(A) + r(B)$,因此 $r(A) + r(B) \geq r(A+B) = n$。
又因为 $B$ 在 $A$ 的下面,所以 $A$ 和 $B$ 的行向量是不同的,因此 $r(A) + r(B) = r(A \mid B)$,其中 $A \mid B$ 表示将矩阵 $A$ 和 $B$ 拼接在一起得到的新矩阵。
因此 $r(A \mid B) \geq r(A) + r(B) \geq n$。
又因为 $A \mid B$ 是 $n$ 行的矩阵,所以 $r(A \mid B) \leq n$。
综上可得,$r(A \mid B) = r(A) + r(B) = n$。