给定一些向量，如何求与这些向量皮尔逊相关系数的平均值的最大的新向量？

假设给定 $n$ 个向量 $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \cdots, \vec{v_n}$，每个向量有 $m$ 个元素。我们的目标是找到一个新的向量 $\vec{v}_{new}$，使得 $\vec{v}_{new}$ 与这 $n$ 个向量的皮尔逊相关系数的平均值最大。

我们可以使用梯度下降法来求解这个问题。具体来说，我们定义一个损失函数 $L(\vec{v}_{new})$，表示 $\vec{v}_{new}$ 与这 $n$ 个向量的皮尔逊相关系数的平均值的负值，即

$$L(\vec{v}_{new}) = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \text{corr}(\vec{v}_{new}, \vec{v_i})$$

其中，$\text{corr}(\vec{x}, \vec{y})$ 表示向量 $\vec{x}$ 和向量 $\vec{y}$ 的皮尔逊相关系数。

我们的目标是最大化 $L(\vec{v}_{new})$，因此我们需要求解 $L(\vec{v}_{new})$ 对 $\vec{v}_{new}$ 的梯度。具体来说，我们有

$$\nabla_{\vec{v}_{new}} L(\vec{v}_{new}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \nabla_{\vec{v}_{new}} \text{corr}(\vec{v}_{new}, \vec{v_i})$$

皮尔逊相关系数的梯度可以通过以下公式计算：

$$\nabla_{\vec{x}} \text{corr}(\vec{x}, \vec{y}) = \frac{\vec{y} - \bar{y}}{\sigma_y^2} - \frac{\text{cov}(\vec{x}, \vec{y})}{\sigma_x^2 \sigma_y^2} (\vec{x} - \bar{x})$$

其中，$\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 分别表示向量 $\vec{x}$ 和向量 $\vec{y}$ 的均值，$\sigma_x$ 和 $\sigma_y$ 分别表示向量 $\vec{x}$ 和向量 $\vec{y}$ 的标准差，$\text{cov}(\vec{x}, \vec{y})$ 表示向量 $\vec{x}$ 和向量 $\vec{y}$ 的协方差。

因此，我们可以使用以下算法来求解最大化 $L(\vec{v}_{new})$ 的问题：

1. 初始化一个新的向量 $\vec{v}_{new}$。
2. 重复以下步骤，直到收敛：
- 计算 $\nabla_{\vec{v}_{new}} L(\vec{v}_{new})$。
- 更新 $\vec{v}_{new} \leftarrow \vec{v}_{new} + \eta \nabla_{\vec{v}_{new}} L(\vec{v}_{new})$，其中 $\eta$ 是学习率。

最终的 $\vec{v}_{new}$ 就是我们要求的最大化平均皮尔逊相关系数的新向量。