什么矩阵与自己的逆相等
时间: 2024-04-15 07:22:20 浏览: 24
一个矩阵与其逆矩阵相等的情况被称为可逆矩阵或非奇异矩阵。对于一个n阶方阵A,如果存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=I(其中I是单位矩阵),那么矩阵A就是可逆的,而B就是A的逆矩阵。
逆矩阵的存在与矩阵的行列式有关。如果一个矩阵A的行列式不等于0(det(A)≠0),那么A就是可逆的,并且它的逆矩阵可以通过以下公式计算得到:A^-1 = (1/det(A)) * adj(A),其中adj(A)是A的伴随矩阵。
需要注意的是,并非所有的矩阵都有逆矩阵。如果一个矩阵的行列式等于0(det(A)=0),那么该矩阵就是奇异矩阵或不可逆矩阵,它没有逆矩阵。
相关问题
矩阵与逆矩阵的转换规则是什么
矩阵A的逆矩阵记作A^-1,满足以下条件:
1. A和A^-1必须是方阵,即行数和列数相等。
2. A和A^-1的乘积为单位矩阵,即A × A^-1 = A^-1 × A = I,其中I为单位矩阵。
3. 如果一个矩阵的逆矩阵存在,则该矩阵为可逆矩阵(非奇异矩阵)。
转换规则:
1. 若A是一个n阶方阵,则存在唯一的n阶方阵A^-1,使得A × A^-1 = A^-1 × A = I。此时,A^-1称为A的逆矩阵。
2. 若A、B是n阶方阵,且AB = I,则B是A的逆矩阵,即B = A^-1。
3. 若A、B、C都是n阶方阵,且ABC = I,则B是A的逆矩阵,C是B的逆矩阵,即B = A^-1,C = B^-1。
正交矩阵的逆和它的转置相等吗
对于一个正交矩阵 $Q$,有 $Q^TQ=I$,其中 $I$ 是单位矩阵。
因此,我们可以通过两边同时取转置来得到:
$$(Q^TQ)^T=I^T$$
由于 $I$ 是对称矩阵,即 $I^T=I$,因此上式可以简化为:
$$Q^T(Q^T)^T=I$$
又因为 $Q^T$ 也是正交矩阵,所以有 $(Q^T)^TQ^T=I$。
因此,正交矩阵 $Q$ 的逆矩阵为 $Q^{-1}=Q^T$,即正交矩阵的逆等于它的转置。
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