分治算法计算逆序对数

使用分治算法计算数组中逆序对数量
归并排序框架下的逆序对统计
在处理逆序对问题时，可以利用归并排序这一经典分治算法来高效解决。具体来说，在每次合并两个已排序序列的过程中，如果遇到左边的元素大于右边对应的元素，则意味着存在若干个逆序对，因为此时左边剩余未比较的所有元素都构成了新的逆序关系[^1]。
Python 实现代码示例
下面给出了一种基于上述思路的具体实现方式：
def merge_and_count_split_inv(B, C):
i = j = inversions = 0
sorted_list = []

while i < len(B) and j < len(C):
if B[i] <= C[j]:
sorted_list.append(B[i])
i += 1
else:
sorted_list.append(C[j])
j += 1
inversions += len(B) - i

sorted_list.extend(B[i:])
sorted_list.extend(C[j:])

return sorted_list, inversions

def sort_and_count(A):
n = len(A)
if n <= 1:
return A, 0

mid = n // 2
(B, X) = sort_and_count(A[:mid])
(C, Y) = sort_and_count(A[mid:])
(D, Z) = merge_and_count_split_inv(B, C)

return D, X + Y + Z

def count_inversions(array):
_, num_of_inversions = sort_and_count(array)
return num_of_inversions

此段程序通过sort_and_count()函数递归地分割输入列表直到单个元素；随后借助辅助函数merge_and_count_split_inv()完成两部分之间的合并操作的同时统计跨越不同分区边界的那些特殊形式的逆序对数目。最终由顶层调用返回整个过程累计得到的结果即为所求总逆序对数[^2]。