最小生成树prim的时间复杂度

时间: 2024-05-24 08:08:43 浏览: 225

C++语言实现使用Prim（普利姆）算法求最小生成树

Prim算法是一种求解最小生成树问题的贪心算法。其基本原理是：每次从未被选择的顶点中选择一个距离当前生成树最近的顶点加入生成树，直到所有的顶点都被选择。以下是Prim算法的详细步骤：初始化：选取图中的任一顶点作为起始点，将其加入生成树中。对于每个顶点，初始化一个距离数组，用于存储当前生成树到该顶点的距离。同时，初始化一个访问数组，标记每个顶点是否已被访问。开始循环：当生成树中顶点个数小于总顶点数时，执行以下步骤： a. 在所有未被访问的顶点中，选择距离最小的顶点，将其加入生成树中。 b. 更新距离数组：对于新加入生成树的顶点的所有邻居，如果从新顶点到邻居的距离小于从已访问的顶点到邻居的距离，则更新距离数组中该邻居的距离。 c. 标记新加入的顶点为已访问。 d. 将距离数组中等于无穷大的值（表示不可达）设为0，以便于后续选择新的顶点。结束循环：当所有的顶点都被加入生成树中时，算法结束。输出结果：输出生成树中的所有边和对应的权值。 **C++语言实现Prim（普利姆）算法求最小生成树** Prim算法是解决图论问题中的经典算法，主要用于寻找加权无向图中的最小生成树。最小生成树是一棵树形结构，它包含了原图的所有顶点，且边的权重之和最小。Prim算法是一种贪心策略，每次从当前生成树的边界上选择一条与生成树连接的具有最小权重的边，将一个未加入树的顶点添加到树中，直至所有顶点都被包含。以下是Prim算法的详细步骤： 1. **初始化阶段**： - 选择图中的任意一个顶点作为起始点，将其加入生成树。 - 对于图中的每一个顶点，初始化一个距离数组`dist`，记录当前生成树到该顶点的最短距离。通常设置为无穷大，除了起始点的距离为0。 - 初始化一个访问数组`vis`，用于标记顶点是否已经被加入到生成树中，初始状态均为未访问。 2. **循环过程**： - 当生成树中的顶点数量少于总顶点数时，重复以下操作： - 在所有未访问的顶点中，找到与当前生成树距离最近的顶点，并将其加入生成树。这个过程可以通过使用优先队列（如小根堆）来实现，存储距离和顶点编号，每次取出距离最小的顶点。 - 更新距离数组：遍历新加入顶点的所有邻接顶点，如果通过新顶点到达邻居的距离小于当前距离，更新`dist`数组中对应邻居的距离。 - 标记新加入的顶点为已访问。 - 将距离数组中表示不可达的无穷大值设为0，以便后续选择新的顶点。 3. **结束条件**： - 当所有顶点都已被访问，即生成树包含了所有顶点，算法结束。 4. **输出结果**： - 输出生成树中的所有边及其对应的权重，这些边构成了最小生成树。在C++实现Prim算法时，可以使用`priority_queue`数据结构来辅助实现小根堆。代码示例如下： ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <queue> #include <climits> using namespace std; const int INF = INT_MAX; const int MAXN = 100; int n, m; // 顶点数和边数 int dist[MAXN]; // 距离数组 bool vis[MAXN]; // 访问数组 int edge[MAXN][2]; // 边的信息 void init() { for (int i = 0; i < n; i++) { dist[i] = INF; vis[i] = false; } } void prim() { init(); dist[0] = 0; // 起始点距离设为0 priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq; pq.push({0, 0}); // 加入起始点 while (!pq.empty()) { int u = pq.top().second; pq.pop(); vis[u] = true; for (int i = 0; i < m; i++) { int v = edge[i][0]; if (vis[v]) continue; int w = edge[i][1]; if (dist[v] > dist[u] + w) { dist[v] = dist[u] + w; pq.push({dist[v], v}); } } } } int main() { cin >> n >> m; // 输入边的信息 // ... prim(); // 输出最小生成树的边 // ... } ``` Prim算法的时间复杂度通常为O(E log E)，其中E是边的数量。这是因为每次从优先队列中取出最小元素的时间复杂度为O(log E)。尽管Prim算法不是最高效的最小生成树算法（Kruskal算法的时间复杂度为O(E log V)，V是顶点数），但在处理稠密图（边数接近于顶点数的平方）时，Prim算法的效率相对较高。由于Prim算法是贪心算法，得到的结果一定是近似最优解，但不保证全局最优。

最小生成树Prim算法的时间复杂度为O(ElogV)，其中E为边数，V为顶点数。具体实现方式为从任意一个点开始，不断地向外扩张，每次选择连接当前点集和未连接点集的边权值最小的那个点加入当前点集中，直到所有点都加入点集为止。这个过程中，需要用一个优先队列来维护每个点到当前点集的最短距离，所以时间复杂度为O(ElogV)。

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