softmax等于余弦相似度

softmax是一种常见的激活函数，主要用于多分类问题中，将输出结果转化为概率分布。而余弦相似度是一种衡量向量之间相似度的方法，常用于计算文本、图像等数据的相似程度。虽然softmax和余弦相似度都是用于衡量相似度的方法，但它们之间存在一些差异。

首先，softmax是一个数学运算，其主要作用是将一个向量映射到一个概率分布上。在多分类问题中，softmax常用于最后一层神经网络的输出层，将每个类别的得分转化为概率值，使得概率之和为1，并选择概率最高的类别作为预测结果。

而余弦相似度是通过计算两个向量之间的夹角来度量它们的相似度。余弦相似度的取值范围为[-1, 1]，当两个向量之间的夹角接近0度时，余弦相似度接近1，表示两个向量非常相似；当夹角接近90度时，余弦相似度接近0，表示两个向量不相似。

从功能和应用角度来看，softmax主要用于分类问题，而余弦相似度主要用于相似度衡量。虽然在某些特定情况下，可以使用softmax计算两个向量之间的相似度，但这种方法与余弦相似度并不相同。

综上所述，softmax和余弦相似度是两个不同的概念和方法，用于不同的应用领域。他们虽然都是用于度量相似性，但并没有等效的关系。

相关问题

Numpy 实现余弦相似度embedding 的NTxent

下面是使用 Numpy 实现余弦相似度的 NTxent 损失的示例代码。

首先，我们需要定义一个嵌入矩阵 $E$，其中每一行代表一个单词的嵌入向量。假设我们有 $N$ 个单词，每个单词的嵌入向量为 $d$ 维，那么 $E$ 的形状将为 $N \times d$。我们可以使用 NumPy 的随机函数生成一个随机的嵌入矩阵：

import numpy as np

N = 10000
d = 300

E = np.random.randn(N, d)

接下来，我们需要选择一些中心单词 $c_i$，以及它们对应的正样本单词 $p_i$ 和负样本单词 $n_i$。我们可以使用 NumPy 的随机函数从嵌入矩阵 $E$ 中随机选择这些单词：

batch_size = 32

c_idx = np.random.randint(N, size=batch_size)
e_c = E[c_idx]

p_idx = np.random.randint(N, size=batch_size)
e_p = E[p_idx]

n_idx = np.random.randint(N, size=(batch_size, 5))
for i in range(batch_size):
    while p_idx[i] in n_idx[i]:
        n_idx[i] = np.random.randint(N, size=5)
e_n = E[n_idx]

接下来，我们可以计算每个中心单词 $c_i$ 和对应的正样本单词 $p_i$ 的余弦相似度：

cos_sim = np.sum(e_c * e_p, axis=1) / (np.linalg.norm(e_c, axis=1) * np.linalg.norm(e_p, axis=1))

然后，我们可以计算每个中心单词 $c_i$ 和对应的负样本单词 $n_{i,j}$ 的余弦相似度：

cos_sim_neg = np.sum(e_c[:, np.newaxis, :] * e_n, axis=2) / (np.linalg.norm(e_c, axis=1)[:, np.newaxis] * np.linalg.norm(e_n, axis=2))

接下来，我们需要将余弦相似度转换为概率分布，并计算 NTxent 损失。假设我们使用 softmax 函数将余弦相似度转换为概率分布，我们可以使用以下代码计算 NTxent 损失：

temperature = 0.1

logit = cos_sim / temperature
logit_neg = cos_sim_neg / temperature
logit_all = np.concatenate([np.array([logit]), logit_neg], axis=0)
logit_all = np.exp(logit_all)
probs = logit_all / np.sum(logit_all, axis=0)

log_prob = np.log(probs[0] / np.sum(probs[1:], axis=0))
loss = -np.mean(log_prob)

其中，`temperature` 是一个超参数。我们可以使用类似的方式计算每个中心单词 $c_i$ 和对应的负样本单词 $n_{i,j}$ 的 NTxent 损失。完整的代码示例如下：

import numpy as np

N = 10000
d = 300
temperature = 0.1

# 生成随机嵌入矩阵
E = np.random.randn(N, d)

# 选择中心单词和正样本单词
batch_size = 32

c_idx = np.random.randint(N, size=batch_size)
e_c = E[c_idx]

p_idx = np.random.randint(N, size=batch_size)
e_p = E[p_idx]

# 选择负样本单词
n_idx = np.random.randint(N, size=(batch_size, 5))
for i in range(batch_size):
    while p_idx[i] in n_idx[i]:
        n_idx[i] = np.random.randint(N, size=5)
e_n = E[n_idx]

# 计算余弦相似度
cos_sim = np.sum(e_c * e_p, axis=1) / (np.linalg.norm(e_c, axis=1) * np.linalg.norm(e_p, axis=1))
cos_sim_neg = np.sum(e_c[:, np.newaxis, :] * e_n, axis=2) / (np.linalg.norm(e_c, axis=1)[:, np.newaxis] * np.linalg.norm(e_n, axis=2))

# 计算 NTxent 损失
logit = cos_sim / temperature
logit_neg = cos_sim_neg / temperature
logit_all = np.concatenate([np.array([logit]), logit_neg], axis=0)
logit_all = np.exp(logit_all)
probs = logit_all / np.sum(logit_all, axis=0)

log_prob = np.log(probs[0] / np.sum(probs[1:], axis=0))
loss = -np.mean(log_prob)

numpy 实现embedding 使用余弦相似度计算my-xent 损失

首先，我们需要定义一个嵌入矩阵 $E$，其中每一行代表一个单词的嵌入向量。假设我们有 $N$ 个单词，每个单词的嵌入向量为 $d$ 维，那么 $E$ 的形状将为 $N \times d$。我们可以使用 NumPy 的随机函数生成一个随机的嵌入矩阵：

import numpy as np

N = 10000
d = 300

E = np.random.randn(N, d)

接下来，我们需要选择一些中心单词 $c_i$，以及它们对应的正样本单词 $p_i$ 和负样本单词 $n_i$。我们可以使用 NumPy 的随机函数从嵌入矩阵 $E$ 中随机选择这些单词：

batch_size = 32

c_idx = np.random.randint(N, size=batch_size)
e_c = E[c_idx]

p_idx = np.random.randint(N, size=batch_size)
e_p = E[p_idx]

n_idx = np.random.randint(N, size=(batch_size, 5))
for i in range(batch_size):
    while p_idx[i] in n_idx[i]:
        n_idx[i] = np.random.randint(N, size=5)
e_n = E[n_idx]

接下来，我们可以计算每个中心单词 $c_i$ 和对应的正样本单词 $p_i$ 的余弦相似度：

cos_sim = np.sum(e_c * e_p, axis=1) / (np.linalg.norm(e_c, axis=1) * np.linalg.norm(e_p, axis=1))

然后，我们可以计算每个中心单词 $c_i$ 和对应的负样本单词 $n_{i,j}$ 的余弦相似度：

cos_sim_neg = np.sum(e_c[:, np.newaxis, :] * e_n, axis=2) / (np.linalg.norm(e_c, axis=1)[:, np.newaxis] * np.linalg.norm(e_n, axis=2))

接下来，我们需要将余弦相似度转换为概率分布，并计算 my-xent 损失。假设我们使用 softmax 函数将余弦相似度转换为概率分布，我们可以使用以下代码计算 my-xent 损失：

temperature = 0.1

logit = cos_sim / temperature
logit_neg = cos_sim_neg / temperature
logit_all = np.concatenate([logit[:, np.newaxis], logit_neg], axis=1)
logit_all = np.exp(logit_all)
probs = logit_all / np.sum(logit_all, axis=1)[:, np.newaxis]

log_prob = np.log(probs[:, 0])
loss = -np.mean(log_prob)

其中，`temperature` 是一个超参数。我们可以使用类似的方式计算每个中心单词 $c_i$ 和对应的负样本单词 $n_{i,j}$ 的 my-xent 损失。完整的代码示例如下：

import numpy as np

N = 10000
d = 300
temperature = 0.1

# 生成随机嵌入矩阵
E = np.random.randn(N, d)

# 选择中心单词和正样本单词
batch_size = 32

c_idx = np.random.randint(N, size=batch_size)
e_c = E[c_idx]

p_idx = np.random.randint(N, size=batch_size)
e_p = E[p_idx]

# 选择负样本单词
n_idx = np.random.randint(N, size=(batch_size, 5))
for i in range(batch_size):
    while p_idx[i] in n_idx[i]:
        n_idx[i] = np.random.randint(N, size=5)
e_n = E[n_idx]

# 计算余弦相似度
cos_sim = np.sum(e_c * e_p, axis=1) / (np.linalg.norm(e_c, axis=1) * np.linalg.norm(e_p, axis=1))
cos_sim_neg = np.sum(e_c[:, np.newaxis, :] * e_n, axis=2) / (np.linalg.norm(e_c, axis=1)[:, np.newaxis] * np.linalg.norm(e_n, axis=2))

# 计算 my-xent 损失
logit = cos_sim / temperature
logit_neg = cos_sim_neg / temperature
logit_all = np.concatenate([logit[:, np.newaxis], logit_neg], axis=1)
logit_all = np.exp(logit_all)
probs = logit_all / np.sum(logit_all, axis=1)[:, np.newaxis]

log_prob = np.log(probs[:, 0])
loss = -np.mean(log_prob)