使用Python，用Gauss-Seidel方法计算函数最小值

Gauss-Seidel方法是一种迭代求解线性系统的方法，但它通常用于数值优化，特别是在求解非线性方程组的问题中，例如寻找某个函数的局部最小值。要使用Python实现Gauss-Seidel法来找到函数的最小值，你需要做以下几个步骤：

1. **选择函数**：首先，确定你要优化的函数，它应该是一个连续可微的函数f(x)。

2. **梯度下降设置**：Gauss-Seidel方法本质上是梯度下降的一种变体。你需要知道函数的梯度∇f(x)，这将告诉你在当前点x的方向上如何最快地下降。

3. **初始化**：选择一个初始猜测x0，这个点将是算法开始的位置。

4. **迭代更新**：对于每一步迭代i+1，按照Gauss-Seidel法则更新x：
- x_new_j = x_i_j - α * f'(x_i)_j (对于每个j从1到n)，其中α是学习率，f'(x_i)_j是第j个分量的导数。

5. **停止条件**：设置一个停止准则，如当满足特定精度要求或达到最大迭代次数时停止。

6. **返回结果**：如果收敛，返回最终迭代得到的x值作为函数的估计最小值。

下面是一个简单的Python代码示例，展示如何使用Gauss-Seidel方法求解单变量函数的最小值（假设我们有f(x) = x^2）：

import numpy as np

def f_derivative(x):
    return 2 * x

def gauss_seidel(f, df, initial_guess, alpha=0.01, max_iterations=1000):
    x = initial_guess
    for _ in range(max_iterations):
        new_x = x - alpha * df(x)
        if np.isclose(new_x, x, rtol=1e-6):  # 判断是否收敛
            break
        x = new_x
    return x, f(new_x)

# 示例函数和初始值
initial_guess = 5
alpha = 0.01

min_value, min_point = gauss_seidel(lambda x: x**2, f_derivative, initial_guess)
print(f"Minimum value found at {min_point}: {min_value}")