matlab求矩阵谱范数

### 如何在 MATLAB 中计算矩阵的谱范数

矩阵的谱范数是指矩阵的最大奇异值，也即 \( \sigma_1(A) = \sqrt{\lambda_{\max}(A^* A)} \)，其中 \( A^* \) 是矩阵 \( A \) 的共轭转置[^1]。

在 MATLAB 中可以直接利用内置函数 `norm` 来获取矩阵的谱范数。对于任意给定的矩阵 \( A \)，可以通过如下方式调用：

% 定义一个示例矩阵 A
A = [1 2; 3 4];

% 计算并显示该矩阵的谱范数
spectralNorm = norm(A, 2);
disp(['The spectral norm of the matrix is ', num2str(spectralNorm)]);

此代码片段展示了如何创建一个简单的二阶方阵，并通过指定第二个参数为 2 告诉 `norm` 函数返回的是矩阵的谱范数[^2]。

另外，在某些情况下可能希望手动实现这个过程以加深理解或满足特定需求。这时可以采用 SVD (Singular Value Decomposition) 方法来找到最大的奇异值作为谱范数的结果:

[U,S,V] = svd(A); % 对矩阵执行奇异值分解
singularValues = diag(S); % 提取对角线上所有的奇异值
spectralNormManual = max(abs(singularValues)); % 取绝对值中的最大者作为谱范数
disp(['Manually computed spectral norm: ', num2str(spectralNormManual)]);

这段代码同样适用于任何大小的输入矩阵，并且提供了另一种视角来看待谱范数的本质——它实际上是关联于矩阵所能引起最长拉伸的程度[^3]。