用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率fs=1.2kHz，边界频率为fc=400Hz（用MATLAB代码实现）

双线性变换（Bilinear Transform）是一种将模拟滤波器的设计转换为数字滤波器设计的技术，常用于保持频率响应的形状。设计三阶巴特沃斯低通滤波器的一般步骤包括：

1. 确定模拟滤波器的参数，如截止频率、阶数等。
2. 将模拟滤波器的频率转化为z变换域的极点和零点。
3. 应用双线性变换公式将模拟滤波器的极点和零点映射到数字域。
4. 使用MATLAB的`butter`函数或者自定义代码生成数字滤波器系数。

对于给定的参数，采样频率 `fs = 1.2 kHz` 和截止频率 `fc = 400 Hz`，我们可以按照以下步骤编写MATLAB代码：

% 定义参数
fs = 1200;        % 采样频率 (Hz)
fc = 400;         % 截止频率 (Hz)
order = 3;       % 滤波器阶数

% 双线性变换参数
nyquist_rate = fs / 2;  % 半取样率
wc = fc / nyquist_rate;   % 转换后的截止角频率

% 设计巴特沃斯滤波器
[b, a] = butter(order, wc, 'low');  % butterworth filter design

% 确保数字滤波器系数在[-1, 1]范围内
a = a / max(abs(a));
b = b / max(abs(b));

% 输出滤波器系数
disp('Digital Filter Coefficients:');
disp(['Numerator (b): ', num2str(b)]);
disp(['Denominator (a): ', num2str(a)]);

% 查看滤波器的频率响应
[h, w] = freqz(b, a, 8000);  % 频率响应计算，假设需要高分辨率
plot(w * nyquist_rate, 20 * log10(abs(h)), 'b');  % 对应于频率范围 [0, fs]
xlabel('Normalized Frequency (rad/sample)');
ylabel('Magnitude (dB)');
title('Lowpass Butterworth Filter');

运行这段代码后，你将得到一个三阶巴特沃思数字低通滤波器的系数以及它的频率响应图形。