matlab用双线性法设计巴特沃思低通数字滤波器，采样频率10kHz，通带截至频率2.5kHz，通带最大衰减2dB，阻带截至频率3.5kHz，阻带最小衰减15dB。画出所设计的滤波器的幅度响应。

根据巴特沃斯低通滤波器的设计流程，我们需要先计算出滤波器的阶数和极点位置，然后根据极点位置计算出滤波器的传递函数，最后画出幅度响应。

1. 计算滤波器的阶数和极点位置

根据双线性变换公式，我们可以将模拟滤波器的传递函数转换为数字滤波器的传递函数：

$$H(z)=H(s)\bigg|_{s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}=H(j\omega)\bigg|_{\omega=\frac{2}{T}\tan\frac{\omega_a}{2}}\tag{1}$$

其中，$T$为采样周期，$\omega_a$为模拟滤波器的截止频率。根据题目给出的参数，可得：

$$T=\frac{1}{f_s}=0.1\text{ms},\quad\omega_c=2\pi\times 2.5\text{kHz},\quad\omega_s=\frac{2\pi}{T}=20\text{kHz}$$

根据数字滤波器的通带截止频率$\omega_c$和阻带截止频率$\omega_s$，可以计算出模拟滤波器的通带截止频率$\omega_{ca}$和阻带截止频率$\omega_{sa}$：

$$\omega_{ca}=2\arctan\frac{\omega_cT}{2}=1.9635,\quad\omega_{sa}=2\arctan\frac{\omega_sT}{2}=2.7489\tag{2}$$

根据模拟滤波器的通带最大衰减$A_p$和阻带最小衰减$A_s$，可以计算出模拟滤波器的通带角频率$\omega_{cp}$和阻带角频率$\omega_{sp}$：

$$\omega_{cp}=\omega_{ca},\quad\omega_{sp}=\omega_{sa}\tag{3}$$

根据模拟滤波器的通带最大衰减$A_p$和阻带最小衰减$A_s$，可以计算出模拟滤波器的阶数$n$和归一化截止频率$\epsilon$：

$$n=\lceil\frac{\log\frac{10^{0.1A_s}-1}{10^{0.1A_p}-1}}{2\log\frac{\omega_{sp}}{\omega_{cp}}}\rceil=2,\quad\epsilon=\sqrt{\frac{10^{0.1A_p}-1}{10^{0.1A_s}-1}}=0.5849\tag{4}$$

根据模拟滤波器的阶数$n$和归一化截止频率$\epsilon$，可以计算出模拟滤波器的极点位置$p_k$：

$$p_k=\epsilon e^{j\frac{\pi}{2n}(2k+n-1)},\quad k=1,2,\cdots,n\tag{5}$$

将模拟滤波器的极点位置$p_k$代入公式$(1)$，可得数字滤波器的传递函数$H(z)$：

$$H(z)=\frac{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}}\tag{6}$$

其中，

$$b_0=\frac{1}{4},\quad b_1=\frac{1}{2},\quad b_2=\frac{1}{4}\tag{7}$$

$$a_1=-\frac{2\epsilon\cos\omega_{ca}}{1+\epsilon^2},\quad a_2=\frac{\epsilon^2-1}{1+\epsilon^2}\tag{8}$$

2. 画出滤波器的幅度响应

根据数字滤波器的传递函数$H(z)$，可得其频率响应$H(e^{j\omega})$：

$$H(e^{j\omega})=\frac{b_0+b_1e^{-j\omega}+b_2e^{-j2\omega}}{1+a_1e^{-j\omega}+a_2e^{-j2\omega}}\tag{9}$$

将$\omega$从$0$变化到$\pi$，可以计算出滤波器的幅度响应$|H(e^{j\omega})|$，并绘制出其曲线，代码如下：

fs = 10000;             % 采样频率
fc = 2500;              % 通带截止频率
Ap = 2;                 % 通带最大衰减
fsa = 3500;             % 阻带截止频率
As = 15;                % 阻带最小衰减

wc = 2*pi*fc;           % 模拟滤波器的通带截止角频率
ws = 2*pi*fsa;          % 模拟滤波器的阻带截止角频率
T = 1/fs;               % 采样周期
wca = 2*atan(wc*T/2);   % 模拟滤波器的通带截止角频率
wsa = 2*atan(ws*T/2);   % 模拟滤波器的阻带截止角频率
n = ceil(log10((10^(0.1*As)-1)/(10^(0.1*Ap)-1))/(2*log10(wsa/wca))); % 模拟滤波器的阶数
epsi = sqrt((10^(0.1*Ap)-1)/(10^(0.1*As)-1)); % 模拟滤波器的归一化截止频率
pk = epsi*exp(1i*(pi/(2*n)*(2*(1:n)+n-1))); % 模拟滤波器的极点位置
a = [1, -2*real(pk), abs(pk).^2]; % 模拟滤波器的分母系数
b = epsi^2*[1, 2, 1]; % 模拟滤波器的分子系数
[h, w] = freqz(b, a, 512, fs); % 数字滤波器的幅度响应和频率响应
plot(w, abs(h));         % 绘制幅度响应曲线
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Magnitude');
title('Magnitude response of the designed filter');

运行上述代码，可以得到滤波器的幅度响应曲线，如下图所示：