请详细解释图论中的欧拉图和哈密顿图的定义，以及如何使用数学方法判定一个图是否属于这两类。

在图论的领域中，欧拉图和哈密顿图是两类具有特定性质的图，它们的研究对于理解图的结构和性质至关重要。欧拉图是指在图中存在一条路径（欧拉路径）或回路（欧拉回路），这条路径或回路恰好经过图中每一条边一次。欧拉回路的判定条件是：对于无向图，每个顶点的度（与该顶点相连的边的数量）都是偶数；对于有向图，则每个顶点的入度和出度相等。而欧拉路径的判定条件是：对于无向图，只有两个顶点的度是奇数，其余顶点的度都是偶数；对于有向图，则有一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的出度比入度大1，其余顶点的入度和出度相等。

参考资源链接：[Algebraic graph theory-Springer (2001).pdf](https://wenku.csdn.net/doc/646575965928463033ce134b?spm=1055.2569.3001.10343)

哈密顿图则是指在图中存在一条路径（哈密顿路径）或回路（哈密顿回路），这条路径或回路恰好经过图中每一个顶点一次。哈密顿回路的存在是一个NP完全问题，目前没有已知的多项式时间复杂度的算法来解决所有图的哈密顿回路问题。对于哈密顿路径，同样没有简单的判定方法，但是有一些充分条件，例如Dirac定理和Ore定理，它们提供了判断图中是否存在哈密顿回路的条件。

在研究这些图的性质时，《Algebraic graph theory-Springer (2001)》这本书提供了深入的代数方法，通过群论和线性代数的视角来探讨图论中的问题。书中的内容覆盖了图的谱理论、代数连通性、图的同构以及图的群作用等多个领域，能够帮助读者更全面地理解图的代数性质，并且深入探讨了欧拉图和哈密顿图的代数结构。

通过深入学习这本书中的内容，读者不仅能够掌握欧拉图和哈密顿图的判定条件，还能够学会如何使用代数的方法来研究图论中的其他问题，从而对图的结构和性质有更深刻的认识。

参考资源链接：[Algebraic graph theory-Springer (2001).pdf](https://wenku.csdn.net/doc/646575965928463033ce134b?spm=1055.2569.3001.10343)