在图论中，什么是欧拉图和哈密顿图？它们的定义是什么，如何判定一个图是否属于这两个类别？

欧拉图和哈密顿图是图论中的两个重要概念，它们分别描述了图的特定路径特性。欧拉图是指存在一条路径遍历图中每条边恰好一次而不重复，且这条路径可以回到起点的图，这样的路径被称为欧拉回路；如果路径不需要回到起点，则称为欧拉路径。一个图成为欧拉图的必要充分条件是所有顶点的度数都是偶数，或者恰有两个顶点的度数是奇数，这两个顶点分别是欧拉路径的起点和终点。

参考资源链接：[Algebraic graph theory-Springer (2001).pdf](https://wenku.csdn.net/doc/646575965928463033ce134b?spm=1055.2569.3001.10343)

哈密顿图是指存在一条路径遍历图中每个顶点恰好一次而不重复，且这条路径可以回到起点的图，这样的路径被称为哈密顿回路；如果路径不需要回到起点，则称为哈密顿路径。目前并没有一个简单高效的判定算法来确定一个图是否是哈密顿图，这是一个NP完全问题。

为了深入理解这些概念及其判定方法，推荐参考《Algebraic graph theory-Springer (2001)》。在这本书中，作者Chris Godsil和Gordon F. Royle深入探讨了代数图论，包括欧拉图和哈密顿图的数学基础及其相关的代数性质。书中不仅提供了理论基础，还包含丰富的例题和证明，帮助读者从数学的角度深入理解图论中的这些基本问题。

在学习了欧拉图和哈密顿图的定义和判定条件后，你可以进一步探索图论中的其他高级主题，例如图的着色问题、网络流理论等，这些内容同样在《Algebraic graph theory-Springer (2001)》中有详尽的讨论。对于那些希望在图论领域进行深入研究的读者，这本书提供了不可或缺的理论支持和灵感。

参考资源链接：[Algebraic graph theory-Springer (2001).pdf](https://wenku.csdn.net/doc/646575965928463033ce134b?spm=1055.2569.3001.10343)