设A属于Rmxn，试证明如下结论： ||A||2=max{|yTAx|:x属于Rn,y属于Rm,||x||2=||y||2=1};

要证明该结论，我们可以使用矩阵的奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）。

设 A 属于 R^(m x n) 是一个矩阵，其中 m 表示行数，n 表示列数。

首先，我们知道矩阵 A 的 2-范数（Frobenius 范数）定义为矩阵 A 的所有元素的平方和的平方根，即 ||A||2 = sqrt(ΣΣ|a_ij|^2)。

现在，我们来证明结论：||A||2 = max{|y^T * A * x| : x 属于 R^n, y 属于 R^m, ||x||2 = ||y||2 = 1}。

证明过程如下：

1. 首先，我们可以将矩阵 A 进行奇异值分解（SVD），得到 A = U * Σ * V^T，其中 U 是一个 m x m 的正交矩阵，Σ 是一个 m x n 的对角矩阵，V 是一个 n x n 的正交矩阵。

2. 根据奇异值分解的性质，我们可以将矩阵 A 的 2-范数表示为 ||A||2 = σ_1，其中 σ_1 是矩阵 A 的最大奇异值。

3. 现在，我们来计算 |y^T * A * x|，其中 x 属于 R^n，y 属于 R^m，且 ||x||2 = ||y||2 = 1。

将 A = U * Σ * V^T 代入，得到 |y^T * A * x| = |y^T * U * Σ * V^T * x|。

由于 U 和 V 都是正交矩阵，所以它们的转置矩阵等于它们的逆矩阵，即 U^T = U^(-1)，V^T = V^(-1)。

将 U^T 和 V^T 替换为 U^(-1) 和 V^(-1)，得到 |y^T * A * x| = |(U^(-1) * y)^T * Σ * (V^(-1) * x)|。

令 y' = U^(-1) * y，x' = V^(-1) * x，代入上式，得到 |y^T * A * x| = |y'^T * Σ * x'|。

注意到矩阵 Σ 是一个对角矩阵，对角线上的元素为奇异值 σ_i。

所以 |y^T * A * x| = |y'^T * Σ * x'| = |Σ_ij * y'_i * x'_j|，其中 i 和 j 分别表示 Σ 的行和列。

由于 ||x||2 = ||y||2 = 1，所以 ||x'||2 = ||y'||2 = 1。

因此，我们可以将上式改写为 |y^T * A * x| = |Σ_ij * y'_i * x'_j| = Σ_ij * σ_i * y'_i * x'_j。

注意到 y'_i 和 x'_j 都是标准单位向量，即它们的模长都为 1。

所以 |y^T * A * x| = Σ_ij * σ_i * y'_i * x'_j ≤ Σ_ij * σ_i = ||A||2。

这是因为矩阵 A 的奇异值是非负的，所以乘以标准单位向量后不会增大其值。

4. 综上所述，我们得到 |y^T * A * x| ≤ ||A||2，对于任意的 x 属于 R^n，y 属于 R^m，且 ||x||2 = ||y||2 = 1。

同时，我们也知道存在某个 x' 和 y'，使得 |y'^T * A * x'| = ||A||2。

因此，我们可以得出结论：||A||2 = max{|y^T * A * x| : x 属于 R^n, y 属于 R^m, ||x||2 = ||y||2 = 1}。