设A属于Rmxn,试证明 |A||2>=max{|yTAx|:x属于Rn,y属于Rm,||x||2=||y||2=1};
时间: 2024-06-16 20:05:46 浏览: 21
设A属于Rmxn,我们要证明不等式 |A||2>=max{|yTAx|:x属于Rn,y属于Rm,||x||2=||y||2=1} 成立。
首先,我们知道矩阵A的2-范数定义为矩阵A的最大奇异值,记作|A||2。而对于向量x和y,||x||2和||y||2分别表示向量x和y的2-范数。
根据矩阵的定义,我们可以将矩阵A表示为A = UΣV^T,其中U是一个正交矩阵,Σ是一个对角矩阵,V^T是V的转置矩阵。
现在我们来证明不等式 |A||2>=max{|yTAx|:x属于Rn,y属于Rm,||x||2=||y||2=1}:
首先,我们可以将向量x和y表示为x = Vx'和y = Uy',其中x'和y'是单位向量。
那么不等式左边可以表示为 |A||2 = |UΣV^T||2 = |Σ||2。
而不等式右边可以表示为 max{|yTAx|:x属于Rn,y属于Rm,||x||2=||y||2=1} = max{|(Uy')T(UΣV^T)(Vx')|:x'属于Rn,y'属于Rm,||x'||2=||y'||2=1}。
由于U和V都是正交矩阵,所以它们的转置矩阵等于它们的逆矩阵,即U^T = U^(-1)和V^T = V^(-1)。
将上述等式代入不等式右边,得到 max{|(Uy')T(UΣV^T)(Vx')|:x'属于Rn,y'属于Rm,||x'||2=||y'||2=1} = max{|(y')T(U^(-1)ΣV^(-1))(Vx')|:x'属于Rn,y'属于Rm,||x'||2=||y'||2=1}。
由于U^(-1)ΣV^(-1)是一个对角矩阵,记作Σ',所以不等式右边可以进一步化简为 max{|(y')TΣ'x'|:x'属于Rn,y'属于Rm,||x'||2=||y'||2=1}。
由于x'和y'是单位向量,所以不等式右边的max函数可以进一步化简为 max{|(y')TΣ'x'|:||x'||2=||y'||2=1}。
而|(y')TΣ'x'|表示的是矩阵Σ'的最大奇异值,记作|Σ'||2。
综上所述,不等式右边可以表示为 max{|(y')TΣ'x'|:||x'||2=||y'||2=1} = |Σ'||2。
因此,我们得到不等式 |A||2>=max{|yTAx|:x属于Rn,y属于Rm,||x||2=||y||2=1} 成立。
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