线性筛和欧拉筛的区别

线性筛和欧拉筛都是用于求解素数筛选的问题，即找出一定范围内所有质数的算法，它们的主要区别在于效率和计算复杂度：

1. **线性筛**（Sieve of Eratosthenes）是最基础的素数筛选法，它从2开始，将每个合数的倍数标记为合数，直到达到给定的最大值。这个过程中，每次只需要遍历当前未被标记的所有数字，因此时间复杂度大约为O(n log log n)。线性筛适合处理较小范围内的素数。

2. **欧拉筛**（Eratosthenes-Sieve with wheel factorization），又称为埃拉托斯特尼筛改进版，是在原线性筛的基础上加入了一些优化策略。它利用了数学中的除2、除3优化，减少了对偶数和部分合数的检查次数，进一步降低了常数因子。对于大范围的数据，欧拉筛的性能会优于标准的线性筛。欧拉筛的时间复杂度也是O(n log log n)，但在实际应用中效率更高。

简单来说，欧拉筛对于大型数据集有更高的效率，而线性筛更适用于小规模或者教育演示。

相关问题

欧拉筛c++

欧拉筛（Euler's Sieve）是一种用于快速筛选素数的算法，其时间复杂度为 $O(n)$，与线性筛法相同。以下是C++代码示例：

const int MAXN = 1e6 + 5;
int prime[MAXN], tot; // 存储素数以及素数个数
bool isPrime[MAXN]; // 标记是否为素数

void EulerSieve(int n) {
    memset(isPrime, true, sizeof(isPrime));
    isPrime[0] = isPrime[1] = false;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (isPrime[i]) prime[++tot] = i;
        for (int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= n; j++) {
            isPrime[i * prime[j]] = false;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

在上述代码中，我们首先初始化数组 `isPrime` 为 `true`，然后将 `0` 和 `1` 标记为非素数。之后从 $2$ 开始遍历，如果当前数是素数，我们将其加入 `prime` 数组中。接着从小到大枚举 `prime` 数组中的素数，将 `i` 与其乘积小于等于 $n$ 的合数标记为非素数，这里采用了类似于线性筛法的方式，保证每个数只被标记一次。最后得到的 `prime` 数组即为 $1 \sim n$ 中的所有素数，而 `tot` 记录的就是素数的个数。

欧拉筛法O(N)代码

欧拉筛法（Sieve of Eratosthenes）是一种用于找出一定范围内所有质数的算法，它的时间复杂度确实是线性的，即O(N log log N)，但它可以优化为O(N)的空间复杂度，通过只保留每个合数因子的位置信息。

以下是简化版的欧拉筛法的Python代码实现：

def eratosthenes_sieve(n):
    is_prime = [True] * (n+1)
    p = 2
    while p**2 <= n:
        if is_prime[p]:
            # 将p的倍数标记为非质数
            for i in range(p**2, n+1, p):
                is_prime[i] = False
        p += 1
    
    primes = []
    for p in range(2, n+1):
        if is_prime[p]:
            primes.append(p)
    
    return primes

# 使用示例
primes_up_to_50 = eratosthenes_sieve(50)
print(primes_up_to_50)