已知两个二元向量： x=（1，0，0，0，0，0，0，0，0，0），y=（0，0，0，0，0，0，1，0，0，1），求出它们的简单匹配系数SMC以及Jaccard系数。

首先，简单匹配系数（Simple Matching Coefficient, SMC）通常用于衡量两个分类变量之间的相似性或关联程度。在这个例子中，x 和 y 都是二元向量，每个元素要么是 0 要么是 1，可以视为两个分类变量的列联表。SMC 又称为皮尔逊积差相关系数（Pearson's phi coefficient），它的计算公式基于两个向量的相同和不同位置上值为 1 的元素个数。

对于 x 和 y：

- 同样的位置（x 和 y 都为 1）：0个（因为它们的对应位置都是 0）
- 不同的位置（x 为 1，y 为 0 或者相反）：2个（第一个和最后一个位置）

SMC 计算公式为：
\[ \phi = \frac{|X_1 \cap Y_1| - |X_0 \cap Y_0|}{\sqrt{(|X_1| - |X_1 \cap Y_1|)(|Y_1| - |X_1 \cap Y_1|)}} \]

由于所有位置都不相同，所以：
\[ |X_1 \cap Y_1| = 0 \]
\[ |X_0 \cap Y_0| = 2 \]
\[ |X_1| = |Y_1| = 1 \]

因此，SMC = 0 / 0，这通常表示没有信息可以用来计算，因为交集为空。在实际应用中，当交集为零时，SMC 会返回未定义或特定的值（如 0 或 NaN），取决于具体库的处理。

至于 Jaccard 相似度（Jaccard Index），它是另一个衡量集合相似性的指标，计算的是两个集合的交集大小除以并集大小。对于二元向量，我们可以看作是集合的子集，每个 1 对应一个元素。Jaccard系数公式如下：
\[ J(A, B) = \frac{|A \cap B|}{|A \cup B|} \]

对于 x 和 y：
- 交集（A \cap B）: (0, 0)
- 并集（A \cup B）: (1, 1)

Jaccard系数计算为：
\[ J(x, y) = \frac{0}{1 + 1} = 0 \]

由于两个向量没有任何相同的元素，所以 Jaccard 相似度也是 0。