c++牛顿迭代法求解二元非线性方程

牛顿迭代法可以用于求解二元非线性方程组。假设我们要求解如下方程组：

f1(x1, x2) = 0

f2(x1, x2) = 0

其中，x1和x2是未知量，f1和f2是已知的非线性函数。

牛顿迭代法的思路是，从一个初始点(x1^0, x2^0)开始，通过不断迭代，使得每一步迭代后的点(x1^k, x2^k)都更加接近方程组的解。具体迭代公式如下：

x1^(k+1) = x1^k - [J^-1(x1^k, x2^k) * F(x1^k, x2^k)]1

x2^(k+1) = x2^k - [J^-1(x1^k, x2^k) * F(x1^k, x2^k)]2

其中，J是雅可比矩阵，F是非线性方程组的函数向量，[J^-1(x1^k, x2^k) * F(x1^k, x2^k)]表示矩阵J的逆与向量F的乘积。

具体的C++代码如下：

#include <iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

double f1(double x1, double x2)
{
    return pow(x1, 2) + pow(x2, 2) - 4;
}

double f2(double x1, double x2)
{
    return pow(x1, 2) - pow(x2, 2) - 1;
}

double df1_dx1(double x1, double x2)
{
    return 2 * x1;
}

double df1_dx2(double x1, double x2)
{
    return 2 * x2;
}

double df2_dx1(double x1, double x2)
{
    return 2 * x1;
}

double df2_dx2(double x1, double x2)
{
    return -2 * x2;
}

void newton(double &x1, double &x2)
{
    double eps = 1e-8;
    int maxIter = 1000;
    int iter = 0;
    while (iter < maxIter)
    {
        double J[2][2];
        J[0][0] = df1_dx1(x1, x2);
        J[0][1] = df1_dx2(x1, x2);
        J[1][0] = df2_dx1(x1, x2);
        J[1][1] = df2_dx2(x1, x2);

        double F[2];
        F[0] = f1(x1, x2);
        F[1] = f2(x1, x2);

        double detJ = J[0][0] * J[1][1] - J[0][1] * J[1][0];
        double invJ[2][2];
        invJ[0][0] = J[1][1] / detJ;
        invJ[0][1] = -J[0][1] / detJ;
        invJ[1][0] = -J[1][0] / detJ;
        invJ[1][1] = J[0][0] / detJ;

        double dx1 = invJ[0][0] * F[0] + invJ[0][1] * F[1];
        double dx2 = invJ[1][0] * F[0] + invJ[1][1] * F[1];

        x1 -= dx1;
        x2 -= dx2;

        double err = sqrt(dx1 * dx1 + dx2 * dx2);
        if (err < eps)
        {
            break;
        }

        iter++;
    }

    cout << "x1 = " << x1 << endl;
    cout << "x2 = " << x2 << endl;
}

int main()
{
    double x1 = 1.0;
    double x2 = 1.0;
    newton(x1, x2);
    return 0;
}

在上述代码中，我们定义了两个非线性函数f1和f2，并且分别计算了它们对x1和x2的偏导数。在newton函数中，我们实现了牛顿迭代法的迭代公式，并且将计算结果输出。最后，在main函数中，我们初始化了x1和x2，并且调用newton函数求解方程组的解。