线性规划强对偶定理证明

根据线性规划的弱对偶定理，原问题的最优值大于等于对偶问题的最优值。现在我们来证明线性规划的强对偶性。

假设原问题的最优解为 x∗，对偶问题的最优解为 y∗，则有：

cTx∗≥bTy∗

同时，根据对偶问题的定义，有：

bTy≤cTx

将 y 替换为 y∗，得到：

bTy∗≤cTx

将 x 替换为 x∗，得到：

bT y∗ ≤ cT x∗

因此，对偶问题的最优解 y∗ 也是不等式约束条件下的最优解，即 y∗ 也是对偶问题的最优解。因此，原问题和对偶问题的最优解相等，即：

cTx∗=bTy∗

这就是线性规划的强对偶性。

相关问题

证明如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解

### 回答1：
我们可以使用以下步骤来证明这个结论：

1. 假设标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，即存在一个基可行解，使得所有基变量都严格大于零，并且这个基可行解是最优的。

2. 根据线性规划的对偶定理，对偶规划的最优解与原始问题的最优解相等。因此，我们只需要证明对偶规划存在唯一最优解。

3. 对偶问题的标准形式为：最大化 $b^T y$，满足 $A^T y \leq c$，其中 $y$ 是对偶变量。

4. 假设存在两个不同的最优解 $y_1$ 和 $y_2$，使得 $b^T y_1 = b^T y_2$。那么我们可以考虑一个凸组合 $y = \theta y_1 + (1-\theta)y_2$，其中 $\theta \in [0,1]$。

5. 由于 $y_1$ 和 $y_2$ 都是对偶规划的最优解，因此 $A^T y_1 \leq c$ 和 $A^T y_2 \leq c$。将这两个不等式取凸组合，我们可以得到 $A^T y \leq c$，其中 $y = \theta y_1 + (1-\theta)y_2$。

6. 根据线性代数中的定理，如果一个矩阵的列向量线性无关，则它的转置矩阵的行向量也线性无关。因此，由于 $y_1$ 和 $y_2$ 是不同的向量，它们的线性组合 $y$ 不可能等于任何一个 $y_1$ 或 $y_2$。

7. 因此，我们得到了一个新的对偶可行解 $y$，它满足 $A^T y \leq c$。由于 $y_1$ 和 $y_2$ 都是最优解，因此 $b^T y_1 = b^T y_2$。这意味着 $y$ 也是最优解。

8. 这个结果与我们假设的存在两个不同的最优解相矛盾。因此，我们可以得出结论：对偶规划存在唯一最优解。

综上所述，如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解。

### 回答2：
证明：如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解。

首先，假设标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，即存在一组非退化的解满足所有约束条件，且目标函数取得最优值。那么我们可以将这组解表示为基变量和非基变量的线性组合形式。

接下来我们考虑对偶规划。对偶规划的约束条件为变量的非负性和对偶函数的线性组合形式，我们需要证明对偶规划的目标函数可以取得唯一最优值。

根据线性规划的对偶定理，原始问题的最优目标函数值等于对偶问题的最优目标函数值。即线性规划的最优解等价于对偶问题的最优解。

由于原始问题存在非退化的最优基可行解，那么对偶问题中一定存在对应的最优解。这是因为对偶问题的最优解由原始问题的基变量确定，而非退化的最优基可行解对应了线性规划中的一组非退化基变量，这组基变量可以唯一确定一个对偶问题的最优解。

因此，证明了如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解。

### 回答3：
首先，假设标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，即可以找到一个非退化基与之对应。根据线性规划的理论，非退化基指的是基向量是线性无关的，且这些基向量对应的列向量是矩阵的列，且满秩的。因此，非退化的最优基可行解可以被表示为基本变量全部非零，非基变量全部为零的形式。

然后，根据对偶规划理论，对于每一个基向量，可以对应一个对偶变量，且对偶变量的取值范围是非负的。假设存在多个最优解，则说明对偶问题有多个最优解，即有多个对偶变量的取值都使得对偶目标函数取最小值。

然而，我们知道线性规划的最优解是基本变量全部非零，非基变量全部为零的形式。根据对偶问题的最优解，可以得到对偶变量的取值，这些对偶变量的取值可以确定一个对偶可行解，且该可行解对应的原始变量的取值也是最优解。由于基向量是线性无关的，且对每个基向量均对应一个对偶变量，因此原始变量的取值是唯一的。

综上所述，如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，那么对偶规划必有唯一最优解。

证明：如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解

要证明标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解，我们需要使用线性规划的基本定理，也就是弱对偶定理和强对偶定理。

首先，根据弱对偶定理，原问题的最优解必然大于等于对偶问题的最优解。另外，根据强对偶定理，当原问题存在非退化的最优基可行解时，对偶问题也必然存在唯一最优解。

因此，如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解。