一个线性规划有无数个最优解 那么它的对偶规划也有无数个最优解么 证明它

对于一个线性规划问题，如果存在多个最优解，则这些最优解必须在同一条等价线上，因为这些解满足同样的约束条件，并且目标函数值相同。

根据对偶理论，线性规划问题的对偶问题也存在多个最优解，并且这些最优解也必须在同一条等价线上。

证明如下：

设原始问题的最优解为 $x^*$，对应的目标函数值为 $z^*$，对应的对偶问题的最优解为 $y^*$，对应的目标函数值为 $w^*$。

则原始问题的约束条件为 $Ax^* \leq b$，目标函数为 $\max c^Tx$。对偶问题的约束条件为 $A^Ty^* \geq c$，目标函数为 $\min b^Ty$。

由于 $x^*$ 是原始问题的最优解，因此有 $c^Tx^* = z^*$。

根据弱对偶定理可知，$z^* \leq w^*$。

又因为 $y^*$ 是对偶问题的最优解，因此有 $b^Ty^* = w^*$。

根据弱对偶定理可知，$w^* \leq z^*$。

综上所述，$z^* = w^*$，即原始问题和对偶问题的最优解相等。因此，如果原始问题有无数个最优解，则对偶问题也有无数个最优解，并且这些最优解都在同一条等价线上。

相关问题

证明如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解

### 回答1：
我们可以使用以下步骤来证明这个结论：

1. 假设标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，即存在一个基可行解，使得所有基变量都严格大于零，并且这个基可行解是最优的。

2. 根据线性规划的对偶定理，对偶规划的最优解与原始问题的最优解相等。因此，我们只需要证明对偶规划存在唯一最优解。

3. 对偶问题的标准形式为：最大化 $b^T y$，满足 $A^T y \leq c$，其中 $y$ 是对偶变量。

4. 假设存在两个不同的最优解 $y_1$ 和 $y_2$，使得 $b^T y_1 = b^T y_2$。那么我们可以考虑一个凸组合 $y = \theta y_1 + (1-\theta)y_2$，其中 $\theta \in [0,1]$。

5. 由于 $y_1$ 和 $y_2$ 都是对偶规划的最优解，因此 $A^T y_1 \leq c$ 和 $A^T y_2 \leq c$。将这两个不等式取凸组合，我们可以得到 $A^T y \leq c$，其中 $y = \theta y_1 + (1-\theta)y_2$。

6. 根据线性代数中的定理，如果一个矩阵的列向量线性无关，则它的转置矩阵的行向量也线性无关。因此，由于 $y_1$ 和 $y_2$ 是不同的向量，它们的线性组合 $y$ 不可能等于任何一个 $y_1$ 或 $y_2$。

7. 因此，我们得到了一个新的对偶可行解 $y$，它满足 $A^T y \leq c$。由于 $y_1$ 和 $y_2$ 都是最优解，因此 $b^T y_1 = b^T y_2$。这意味着 $y$ 也是最优解。

8. 这个结果与我们假设的存在两个不同的最优解相矛盾。因此，我们可以得出结论：对偶规划存在唯一最优解。

综上所述，如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解。

### 回答2：
证明：如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解。

首先，假设标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，即存在一组非退化的解满足所有约束条件，且目标函数取得最优值。那么我们可以将这组解表示为基变量和非基变量的线性组合形式。

接下来我们考虑对偶规划。对偶规划的约束条件为变量的非负性和对偶函数的线性组合形式，我们需要证明对偶规划的目标函数可以取得唯一最优值。

根据线性规划的对偶定理，原始问题的最优目标函数值等于对偶问题的最优目标函数值。即线性规划的最优解等价于对偶问题的最优解。

由于原始问题存在非退化的最优基可行解，那么对偶问题中一定存在对应的最优解。这是因为对偶问题的最优解由原始问题的基变量确定，而非退化的最优基可行解对应了线性规划中的一组非退化基变量，这组基变量可以唯一确定一个对偶问题的最优解。

因此，证明了如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解。

### 回答3：
首先，假设标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，即可以找到一个非退化基与之对应。根据线性规划的理论，非退化基指的是基向量是线性无关的，且这些基向量对应的列向量是矩阵的列，且满秩的。因此，非退化的最优基可行解可以被表示为基本变量全部非零，非基变量全部为零的形式。

然后，根据对偶规划理论，对于每一个基向量，可以对应一个对偶变量，且对偶变量的取值范围是非负的。假设存在多个最优解，则说明对偶问题有多个最优解，即有多个对偶变量的取值都使得对偶目标函数取最小值。

然而，我们知道线性规划的最优解是基本变量全部非零，非基变量全部为零的形式。根据对偶问题的最优解，可以得到对偶变量的取值，这些对偶变量的取值可以确定一个对偶可行解，且该可行解对应的原始变量的取值也是最优解。由于基向量是线性无关的，且对每个基向量均对应一个对偶变量，因此原始变量的取值是唯一的。

综上所述，如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，那么对偶规划必有唯一最优解。

证明：如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解

我们可以通过以下步骤证明此结论：

1. 假设标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，即存在一个基可行解，使得所有基变量都严格非零，并且这个基可行解是最优的。

2. 根据线性规划的对偶性，我们可以得到对偶规划，其定义与原始规划相同，但目标函数和约束条件互换。因此，对偶规划的目标是最小化一组变量的线性组合，这些变量对应原始规划中的每个约束条件。

3. 根据对偶性定理，我们知道原始规划的最优解等于对偶规划的最优解。因此，我们需要证明对偶规划存在唯一最优解。

4. 假设对偶规划存在两个不同的最优解。根据对偶性定理，这两个最优解对应原始规划中的两个不同的基可行解。但是，由于原始规划存在非退化的最优基可行解，因此这两个基可行解都必须是非退化的。

5. 根据最优性定理，一个线性规划问题的最优解必须对应于一个非退化的基可行解。因此，在这种情况下，存在两个不同的非退化的最优基可行解，这与我们的假设矛盾。

6. 因此，我们可以得出结论：如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解。