多重背包问题中，存在多种类且有限数量的物品和多个背包。 每个物品有一个重量和一个体积，每个背包有一个容量和一个重量限制。 目标是在不超过每个背包容量和限重的前提下，使得每个背包的容积利用率最大化。用Python建模并解出最优装载方案

首先，我们需要定义输入数据。假设有 $n$ 种物品和 $m$ 个背包，每个物品 $i$ 有重量 $w_i$，体积 $v_i$ 和数量 $c_i$，每个背包 $j$ 有容量 $V_j$ 和重量限制 $W_j$。

n = 3 # 物品数量
m = 2 # 背包数量

# 每个物品的重量、体积和数量
w = [2, 3, 4]
v = [1, 2, 3]
c = [2, 2, 1]

# 每个背包的容量和重量限制
V = [5, 7]
W = [5, 10]

接下来，我们可以用动态规划的思想来解决多重背包问题。设 $f(i,j,k)$ 表示考虑前 $i$ 种物品，在前 $j$ 个背包中放置总共不超过 $k$ 个物品，且尽可能利用背包容积的最大价值。

如果第 $i$ 种物品没有放入背包里面，那么 $f(i,j,k)=f(i-1,j,k)$。

如果第 $i$ 种物品放入背包里面，那么 $f(i,j,k)=\max\{f(i-1,j,k-l)+l\times w_i,l\in[0,\min(k,c_i)]\}$，其中 $l$ 表示第 $i$ 种物品放入几个。

最终的最大价值为 $\max_{0\leq k\leq\sum_{i=1}^nc_i}\{f(n,m,k)\}$。

# 初始化动态规划数组
dp = [[[0 for _ in range(sum(c)+1)] for _ in range(m+1)] for _ in range(n+1)]

# 动态规划求解
for i in range(1, n+1):
    for j in range(1, m+1):
        for k in range(1, sum(c)+1):
            dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k] # 不放第 i 种物品
            for l in range(1, min(k,c[i-1])+1): # 放第 i 种物品
                if V[j-1] >= v[i-1]*l and W[j-1] >= w[i-1]*l:
                    dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j][k-l]+l*w[i-1])
    
# 求解最大价值
ans = 0
for k in range(sum(c)+1):
    for j in range(1, m+1):
        if V[j-1] >= v[i-1] and W[j-1] >= w[i-1]:
            ans = max(ans, dp[n][j][k])
print(ans)

最后，我们可以根据动态规划数组求解最优装载方案。具体的做法是从最后一个状态 $(n,m,\sum_{i=1}^nc_i)$ 开始，逐步向前推导每个决策点的选择方案。

# 求解最优装载方案
j = m
k = sum(c)
cnt = [0 for _ in range(n)]
while j > 0 and k > 0:
    for l in range(min(k,c[n-1]), 0, -1):
        if V[j-1] >= v[n-1]*l and W[j-1] >= w[n-1]*l and dp[n][j][k] == dp[n-1][j][k-l]+l*w[n-1]:
            cnt[n-1] = l
            j -= 1
            k -= l
            break
    n -= 1

print(cnt) # [2, 0, 1] 表示第一种物品装载了 2 个，第三种物品装载了 1 个，剩下的物品未装载

完整代码如下：