3.Strassen矩阵乘法

Strassen矩阵乘法是一种基于分治思想的矩阵乘法算法，其时间复杂度为O(n^log7)。该算法的基本思想是将两个矩阵分别划分为四个子矩阵，然后通过一些加减运算得到七个子矩阵的乘积，最终得到原始矩阵的乘积。

具体来说，假设有两个n*n的矩阵A和B，我们可以将它们分别划分为四个n/2*n/2的子矩阵：

A = [A11 A12] B = [B11 B12]
[A21 A22] [B21 B22]

然后我们可以通过以下公式计算出七个子矩阵的乘积：

P1 = A11 * (B12 - B22)
P2 = (A11 + A12) * B22
P3 = (A21 + A22) * B11
P4 = A22 * (B21 - B11)
P5 = (A11 + A22) * (B11 + B22)
P6 = (A12 - A22) * (B21 + B22)
P7 = (A11 - A21) * (B11 + B12)

最终得到原始矩阵的乘积C：

C11 = P5 + P4 - P2 + P6
C12 = P1 + P2
C21 = P3 + P4
C22 = P5 + P1 - P3 - P7

相关问题

strassen矩阵乘法c++

以下是使用C语言实现的Strassen标准矩阵乘法算法的代码：

#include <stdio.h>

#define N 4 // 矩阵大小
#define THRESHOLD 2 // 阈值

// 矩阵加法
void add_matrix(int a[][N], int b[][N], int c[][N])
{
    int i, j;
    for (i = 0; i < N; i++) {
        for (j = 0; j < N; j++) {
            c[i][j] = a[i][j] + b[i][j];
        }
    }
}

// 矩阵减法
void sub_matrix(int a[][N], int b[][N], int c[][N])
{
    int i, j;
    for (i = 0; i < N; i++) {
        for (j = 0; j < N; j++) {
            c[i][j] = a[i][j] - b[i][j];
        }
    }
}

// Strassen矩阵乘法
void strassen_mul(int a[][N], int b[][N], int c[][N])
{
    // 达到阈值，使用标准矩阵乘法
    if (N <= THRESHOLD) {
        int i, j, k;
        for (i = 0; i < N; i++) {
            for (j = 0; j < N; j++) {
                c[i][j] = 0;
                for (k = 0; k < N; k++) {
                    c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
                }
            }
        }
        return;
    }

    // 处理矩阵的大小并向上取整
    int size = N / 2;
    if (N % 2 != 0) {
        size += 1;
    }

    int A[size][size], B[size][size], C[size][size], D[size][size];
    int E[size][size], F[size][size], G[size][size], H[size][size];
    int P1[size][size], P2[size][size], P3[size][size], P4[size][size], P5[size][size], P6[size][size], P7[size][size];
    int tmp1[size][size], tmp2[size][size];

    // 拆分矩阵
    int i, j;
    for (i = 0; i < size; i++) {
        for (j = 0; j < size; j++) {
            A[i][j] = a[i][j];
            B[i][j] = a[i][j + size];
            C[i][j] = a[i + size][j];
            D[i][j] = a[i + size][j + size];
            E[i][j] = b[i][j];
            F[i][j] = b[i][j + size];
            G[i][j] = b[i + size][j];
            H[i][j] = b[i + size][j + size];
        }
    }

    // 计算P1到P7
    sub_matrix(F, H, tmp1);
    strassen_mul(A, tmp1, P1);

    add_matrix(A, B, tmp1);
    strassen_mul(tmp1, H, P2);

    add_matrix(C, D, tmp1);
    strassen_mul(tmp1, E, P3);

    sub_matrix(G, E, tmp1);
    strassen_mul(D, tmp1, P4);

    add_matrix(A, D, tmp1);
    add_matrix(E, H, tmp2);
    strassen_mul(tmp1, tmp2, P5);

    sub_matrix(B, D, tmp1);
    add_matrix(G, H, tmp2);
    strassen_mul(tmp1, tmp2, P6);

    sub_matrix(A, C, tmp1);
    add_matrix(E, F, tmp2);
    strassen_mul(tmp1, tmp2, P7);

    // 计算结果矩阵
    add_matrix(P5, P4, tmp1);
    sub_matrix(tmp1, P2, tmp2);
    add_matrix(tmp2, P6, c[0]);

    add_matrix(P1, P2, c[1]);
    add_matrix(P3, P4, c[2]);

    add_matrix(P5, P1, tmp1);
    sub_matrix(tmp1, P3, tmp2);
    sub_matrix(tmp2, P7, c[3]);

}

int main()
{
    int a[N][N] = {{1, 2, 3, 4}, {5, 6, 7, 8}, {9, 10, 11, 12}, {13, 14, 15, 16}};
    int b[N][N] = {{1, 2, 3, 4}, {5, 6, 7, 8}, {9, 10, 11, 12}, {13, 14, 15, 16}};
    int c[N][N];
    int i, j;

    strassen_mul(a, b, c);

    printf("Result:\n");
    for (i = 0; i < N; i++) {
        for (j = 0; j < N; j++) {
            printf("%d ", c[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

本代码中定义了THRESHOLD变量，当矩阵大小小于等于阈值时，使用标准矩阵乘法算法计算。简单起见，本代码中矩阵大小固定为4 * 4，可以根据需要修改。

strassen矩阵乘法python

### 回答1：
Strassen矩阵乘法是一种高效的矩阵乘法算法，它可以在较短的时间内计算出两个矩阵的乘积。在Python中，可以使用递归的方式实现Strassen矩阵乘法算法。以下是一个示例代码：

import numpy as np

def strassen(A, B):
    n = len(A)
    if n == 1:
        return A * B
    else:
        # 将矩阵A和B分成四个子矩阵
        A11, A12, A21, A22 = A[:n//2, :n//2], A[:n//2, n//2:], A[n//2:, :n//2], A[n//2:, n//2:]
        B11, B12, B21, B22 = B[:n//2, :n//2], B[:n//2, n//2:], B[n//2:, :n//2], B[n//2:, n//2:]

        # 计算七个子矩阵P1-P7
        P1 = strassen(A11 + A22, B11 + B22)
        P2 = strassen(A21 + A22, B11)
        P3 = strassen(A11, B12 - B22)
        P4 = strassen(A22, B21 - B11)
        P5 = strassen(A11 + A12, B22)
        P6 = strassen(A21 - A11, B11 + B12)
        P7 = strassen(A12 - A22, B21 + B22)

        # 计算结果矩阵C的四个子矩阵
        C11 = P1 + P4 - P5 + P7
        C12 = P3 + P5
        C21 = P2 + P4
        C22 = P1 - P2 + P3 + P6

        # 将四个子矩阵合并成结果矩阵C
        C = np.zeros((n, n))
        C[:n//2, :n//2], C[:n//2, n//2:], C[n//2:, :n//2], C[n//2:, n//2:] = C11, C12, C21, C22

        return C

该函数接受两个矩阵A和B作为输入，并返回它们的乘积。在函数内部，首先检查矩阵的大小是否为1，如果是，则直接返回它们的乘积。否则，将矩阵A和B分成四个子矩阵，并递归地计算七个子矩阵P1-P7。然后，将四个子矩阵合并成结果矩阵C，并返回它。

### 回答2：
Strassen矩阵乘法法是一种用于矩阵乘法计算的分治算法，它采用递归和矩阵分解的方法将两个大矩阵分解成四个子矩阵，以较小的子矩阵计算矩阵乘积，最后再将结果组合成一个大的矩阵。

Python中可以通过递归的方式实现Strassen矩阵乘法，步骤如下：

1. 定义一个函数，接收两个矩阵A和B作为参数。

2. 检查矩阵的大小是否符合要求，如果不符合则进行矩阵补零。

3. 根据Strassen算法，将矩阵A和B分解成四个子矩阵，称为A11、A12、A21、A22和B11、B12、B21、B22。

4. 用递归的方式计算P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7，其中：

- P1 = (A11 + A22)(B11 + B22)
- P2 = (A21 + A22)B11
- P3 = A11(B12 - B22)
- P4 = A22(B21 - B11)
- P5 = (A11 + A12)B22
- P6 = (A21 - A11)(B11 + B12)
- P7 = (A12 - A22)(B21 + B22)

这种计算方法避免了逐个计算矩阵元素的低效率。

5. 根据P1至P7的值计算矩阵C11、C12、C21、C22。

6. 根据C11、C12、C21、C22将矩阵C组合成一个大的矩阵。

这样就完成了矩阵乘法的计算。需要注意的是，Strassen算法对于矩阵大小的要求比较特殊，要求矩阵大小为2的幂次方。因此，在程序中需要对矩阵进行补零或者截取而使其满足大小要求。

以下是一个简单的Strassen矩阵乘法的Python实现：

def strassen_matrix_mul(A, B):
    size = len(A)
    if size == 1:
        return [[A[0][0]*B[0][0]]]
    
    # Padding A and B to make their sizes power of 2
    while size % 2 != 0:
        A.append([0] * size)
        B.append([0] * size)
        size += 1
        for i in range(size):
            A[i].append(0)
            B[i].append(0)
     
    mid = size // 2
    
    # Partition matrices into submatrices
    A11 = [A[i][0:mid] for i in range(0,mid)]
    A12 = [A[i][mid:size] for i in range(0,mid)]
    A21 = [A[i][0:mid] for i in range(mid:size)]
    A22 = [A[i][mid:size] for i in range(mid:size)]
    
    B11 = [B[i][0:mid] for i in range(0,mid)]
    B12 = [B[i][mid:size] for i in range(0,mid)]
    B21 = [B[i][0:mid] for i in range(mid:size)]
    B22 = [B[i][mid:size] for i in range(mid:size)]
    
    # Calculate P1 to P7
    P1 = strassen_matrix_mul(add(A11, A22), add(B11, B22))
    P2 = strassen_matrix_mul(add(A21, A22), B11)
    P3 = strassen_matrix_mul(A11, subtract(B12, B22))
    P4 = strassen_matrix_mul(A22, subtract(B21, B11))
    P5 = strassen_matrix_mul(add(A11, A12), B22)
    P6 = strassen_matrix_mul(subtract(A21, A11), add(B11, B12))
    P7 = strassen_matrix_mul(subtract(A12, A22), add(B21, B22))
    
    # Calculate submatrices of C
    C11 = subtract(add(add(P1, P4), P7), P5)
    C12 = add(P3, P5)
    C21 = add(P2, P4)
    C22 = subtract(add(add(P1, P3), P6), P2)
    
    # Combine submatrices of C into a single matrix
    C = []
    for i in range(0, mid):
        row = C11[i] + C12[i]
        C.append(row)
    for i in range(0, mid):
        row = C21[i] + C22[i]
        C.append(row)

    return C

def add(A, B):
    return [[A[i][j] + B[i][j] for j in range(0,len(A))] for i in range(0,len(A))]

def subtract(A, B):
    return [[A[i][j] - B[i][j] for j in range(0,len(A))] for i in range(0,len(A))]

对于输入的矩阵A和B，可以通过strassen_matrix_mul函数计算它们的乘积，并返回结果矩阵C。其中，add和subtract函数是辅助函数，用于对矩阵进行加法和减法计算。

在实际运用中，Strassen算法的效率很高，但是在一些情况下，它并不是最优解，因此需要结合具体的应用场景进行选择。

### 回答3：
Strassen矩阵乘法是一种基于分治策略的矩阵乘法算法，在某些情况下可以比普通的矩阵乘法算法更快地计算矩阵乘积。Python是一种动态类型、面向对象、解释性的高级编程语言，因其易用性和丰富的库文件而受到广泛关注。

在Python中实现Strassen矩阵乘法，首先需要将矩阵分解为更小的子矩阵。然后，通过逐层分治的方式，将每个子矩阵乘以自己的转置矩阵，再将结果组合起来，得到原始矩阵的乘积。

下面是一个简单的Python代码实现：

def strassen_multiply(a, b):
    n = len(a)
    if n == 1:
        return [[a[0][0] * b[0][0]]]
    else:
        # divide matrices into submatrices
        a11, a12, a21, a22 = split_matrix(a)
        b11, b12, b21, b22 = split_matrix(b)
        
        # compute products of submatrices
        m1 = strassen_multiply(add_matrices(a11, a22), add_matrices(b11, b22))
        m2 = strassen_multiply(add_matrices(a21, a22), b11)
        m3 = strassen_multiply(a11, subtract_matrices(b12, b22))
        m4 = strassen_multiply(a22, subtract_matrices(b21, b11))
        m5 = strassen_multiply(add_matrices(a11, a12), b22)
        m6 = strassen_multiply(subtract_matrices(a21, a11), add_matrices(b11, b12))
        m7 = strassen_multiply(subtract_matrices(a12, a22), add_matrices(b21, b22))
        
        # combine submatrices to construct result
        c11 = add_matrices(subtract_matrices(add_matrices(m1, m4), m5), m7)
        c12 = add_matrices(m3, m5)
        c21 = add_matrices(m2, m4)
        c22 = add_matrices(subtract_matrices(add_matrices(m1, m3), m2), m6)
        
        # construct result matrix from submatrices
        return merge_matrices(c11, c12, c21, c22)

在此Python代码中，函数`strassen_multiply`接受两个矩阵`a`和`b`作为参数，并返回它们的乘积。首先，如果矩阵是大小为1的矩阵，则直接返回其乘积。否则，我们将矩阵分解为四个子矩阵，对每个子矩阵进行递归调用，并进行一系列矩阵操作来计算结果矩阵。最后，将子矩阵合并为结果矩阵。

总体来说，Strassen矩阵乘法能够在一定程度上优化矩阵乘积的计算时间。但是，由于其需要递归地对矩阵进行分解和重组，因此在某些情况下，普通的矩阵乘法算法比Strassen算法更有效率。因此，在实际使用中，我们应该根据具体情况选择合适的矩阵乘法算法以获得最优的性能。